2.1 矩阵

求Aⁿ的基本功

1. 若A是方阵，秩为1，则$A^n=[tr(A)]^{n-1}A$
2. 试算$A^2,A^3$等，归纳结果
3. $A^n=(B+C)^n$，且满足$(BC=CB)$，用二项展开式(通常其中一个为E)

特殊小结论

1. 秩1方阵$\alpha\beta^T$的主对角线之和为$\beta^T \alpha$

逆矩阵的性质

1. $(A^{-1})^{-1}=a$
2. 若$k\not=0$，则$(kA)^{-1}=A^{-1}/k$
3. AB也可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$(==穿脱原则)
4. $A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
5. $|A^{-1}|=|A|^{-1}$

伴随矩阵的公式

$$AA^*=A^*A=|A|E$$

$$|A^*|=|A|^{n-1}$$

见到A^*想$A^{-1}$

当$|A|\not=0$时，有：

$$A^*=|A|A^{-1},A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*, A=|A|(A^*)^{-1}$$