错题集

注：仅记录题目，后面必须回来做一遍

1. 函数极限与连续

课后 1.1 √

设$f(x)=u(x)+v(x), g(x)=u(x)-v(x)$，并设$\lim_{x\to x_0}u(x)$与$\lim_{x\to x_0}v(x)$都不存在，则下列结论正确的是：

A. 若$\lim_{x\to x_0}f(x)$不存在，则$\lim_{x\to x_0}g(x)$必存在

B. 若$\lim_{x\to x_0}f(x)$不存在，则$\lim_{x\to x_0}g(x)$必不存在

C. 若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则$\lim_{x\to x_0}g(x)$必不存在

D. 若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则$\lim_{x\to x_0}g(x)$必存在

课后 1.3 √

设函数$f(x)=\frac{1}{e^{x/(x-1)}-1}$，则x=0是f(x)的第( )类间断点，x=1是f(x)的第( )类间断点

课后 1.5

设函数$f(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，关于该函数的间断点，下列结论正确的是

A. 不存在间断点

B. 存在间断点x=1

C. 存在间断点x=0

D. 存在间断点x=-1

课后 1.6 √

设$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},f_1(x)=f[f(x)],f_2(x)=f[f_1(x)],f_{n+1}(x)=f[f_n(x)](n=1,2,3,\cdots)$，则$f_n(x)=( )$

课后1.8 √

极限$\lim_{x\to \infty}(\frac{x+2}{x-1})^x=?$

课后 1.16

设如下函数存在，[·]为取整函数，求I,a

$$I=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln (1+e^{2/x})}{\ln (1+e^{1/x})}+a[x]\right)$$

1000题 A1.9

已知$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$存在，且函数

$$f(x)=\ln (1+x)+2x·\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sin x}$$

，则$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$=___

2. 数列极限

课后 2.3 √

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}} \right)=$$

课后 2.4

设下列极限存在且不为0，则常数k=___

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{99}}{n^k-(n-1)^k}$$

课后 2.7 √

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是$[a,b]$上的一个点列，求下列极限

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac 1n \sum^n_{k=1}e^{f(x_k)}}$$

单调有界准则

课后 2.8

设$x_1=2, x_n+(x_n-4)x_{n-1}=3\text{ }(n=2,3,...)$，证明$\lim_{n\to\infty}x_n$存在，并求其值

1000题 A2.2

当$n\to\infty$时，$(1+\frac 1n)^n-e$与$\frac an$是等价无穷小量，则a=___

1000题 A2.12

设单调递减数列$\{x_n\}$满足$x_{n+1}=2\ln (1+x_n),x_1>a>0$，且a是$x-2\ln(1+x)=0$的唯一非零解，证明$\{x_n\}$收敛

3. 一元函数微分学的概念

课后 3.5 √

设$f(x)$满足$f(0)=0$，且$f'(x)$存在，求：

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(1-\sqrt{\cos x})}{\ln(1-x\sin x)}$$

课后 3.7

设$f(x)=\begin{cases} x^x\sin\frac πx, &x<0 \\\\ A, &x=0 \\\\ ax^2+b, &x>0 \end{cases}$，求常数A,a,b的值，使f(x)在x=0处可导，并求$f'(x)$

课后 3.8 √

已知函数$f(x)$在x=1处可导，且$\lim_{x\to 0}\frac{f(e^{x^2})-3f(1+\sin^2x)}{x^2}=2$，求$f'(1)$

课后 3.9 √

设$\delta>0$，$f(x)$在$[-\delta,\delta]$上有定义，$f(0)=1$，且满足

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-2x)+2xf(x)}{x^2}=0$$

证明：$f(x)$在x=0处可导，并求$f'(0)$

泰勒公式

1000题 A3.8

设函数$f(x)$连续，$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{\ln x}=2$，则曲线$y=f(x)$在点$x=1$处的切线方程是

4. 一元函数微分学的计算

课后 4.3

已知$f'(x)=Ae^x$(A为常数)，则$f(x)$的反函数的二阶导数为___

错误原因：计算错误

课后 4.4

设函数$y=y(x)$由$\begin{cases} x=\ln(1+t^2)+1\\\\ y=2\arctan t-(t+1)^2 \end{cases}$确定，则$\frac{d^2 y}{dx^2}$=___

错误原因：计算错误

课后 4.6

设$y=\sin^4x+\cos^4x$，则当$n\geq1$时，$y^{(n)}(x)$=___

错误原因：无从下手

课后 4.7

设$y=y(x)$是由方程$sin(xy)=\ln\frac{x+e}{y}+1$确定的隐函数，求$y'(0)$的值

错误原因：计算错误

课后 4.8

已知$g(x)$在$x=0$处二阶可导，且$g(0)=g'(0)=0$，设

$$f(x)=\begin{cases} \frac{g(x)}{x}, &x\not=0\\\\ 0, &x=0 \end{cases}$$

证明：$f(x)$的导函数在$x=0$处连续

错误原因：无从下手

1000题 A4.1

设$f(x)=x^2$，$h(x)=f[1+g(x)]$，其中$g(x)$可导，且$g'(1)=h'(1)=2$，则$g(1)$=

错误原因：计算错误

1000题 A4.2

设$f(x)=(\ln x-1)(\ln^2 x-2)\cdots(ln^nx-n),n\geq2$，则$f'(e)$=___

错误原因：计算错误

1000题 A4.11

已知函数$f(x)=x^2\ln(2-x)$，则当$n\geq3$时，$f^{(n)}(0)$=___

错误原因：遗忘公式，无从下手

5. 一元函数微分学的应用

课后 5.5

曲线$y=(x-5)x^{\frac 23}$的拐点坐标为___

错误原因：计算错误

课后 5.7

求曲线$y=f(x)=xe^{\frac{1}{x^2}}$的渐近线

错误原因：粗心，计算错误

课后 5.8

设$f(x)=3x^2+Ax^{-3}$，问正数A至少为何值时，可使对任意的$x∈(x,+\infty)$，都有$f(x)\geq 20$成立

错误原因：计算错误

1000题 A5.1

函数$y=e^x+\frac{e^{-x}}{2}$的最小值为___

错误原因：计算错误

1000题 A5.5

已知函数$y=f(x)$连续，其二阶导函数的图像如图所示，则$y=f(x)$的拐点个数为__

错误原因：忽略定义

1000题 A5.7

曲线$y(x)=\ln|e^{2x}-1|$的斜渐近线为___

错误原因：无从下手

1000题 A5.9

曲线$x^2-xy+y^2=1$在点$(1,1)$的曲率为___

错误原因：公式套错了

1000题 A5.10

已知曲线$y=f(x)$在其点$(0,1)$处的曲率圆方程为$(x-1)^2+y^2=2$，且当$x\to 0$时，二阶可导函数$f(x)$与$a+bx+cx^2$的查为$o(x^2)$，则a=___,b=___,c=___

错误原因：蒙的不算

6. 一元微分学公式应用

课后 6.2

设实数$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$满足$a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\cdots\frac{a_n}{n+1}=0$，证明方程：

$$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=0$$

在$(0,1)$内至少有一个根

错误原因：无从下手

课后 6.5

已知$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$，证明：

1. 存在$\xi ∈ (0,1)$，使得$f(\xi)=1-\xi$

2. 存在$\eta,\tau∈(0,1)$,$\eta\not=\tau$,使得$f'(\eta)f'(\tau)=1$

错误原因：第二题无从下手

课后 6.7

设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，且$f(0)=f(1)=0$，$\min\limits_{x∈[0,1]}\{f(x)\}=-1$，证明：存在$\xi∈(0,1)$，使得$f''(\xi)\geq8$

错误原因：自己做一遍

课后 6.8

设当$x>0$时，方程$kx+\frac{1}{x^2}=1$有且仅有一个根，求k的取值范围

错误原因：粗心

1000题 A6.5

设存在$0<\theta<1$，使得$\arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}},-1\leq x\leq 1$，则$\lim\limits_{x\to 0}\theta$=___

错误原因：这什么玩意？

1000题 A6.8

设函数$f(x)$可导，且$|f'(x)|\leq 1$，$f(0)=1$，证明$|f(x)|\leq 1+x$,$0<x<1$

错误原因：遗忘定义，无从下手

1000题 A6.12

1. 将$sinx$在$x=0$处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式

2. 证明$|\frac{\sin x}{x}-1|\leq \frac 12 |x|,x\not=0$

错误原因：无从下手

1000题 A6.14

1. 当$0<x<\frac π2$时，证明$\sin x>\frac 2π x$

2. 设数列$\{x_n\},\{y_n\}$满足$x_{n+1}=\sin x_n,y_{n+1}=y_n^2,n=1,2,3,\cdots,\space x_1=y_1=\frac 12$，当$n\to \infty$时，证明：$y_n$是比$x_n$高阶的无穷小量

错误原因：太大了，无从下手

1000题 A6.15

设数列$\{x_n\}$满足：$0<x_n<\frac{\pi}{2},\space x_n\cos x_{n+1}=\sin x_n,\space n=1,2,\cdots$，证明$\{x_n\}$收敛，并求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$

7. 一元微分学的物理应用

课后 7.3

甲车以$24km/h$的速度向北行驶，同时正东$10km$处乙车以$20km/h$的速度向东行驶，从这一时刻起经过1小时后，求两车之间的距离对时间的变化率

错误原因：图没画好

1000题 A7.4

已知某圆柱底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，且圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为$-100\pi cm^3/s$,$40\pi cm^2/s$，则圆柱体的底面半径与高分别为？

答案蒙对了，但还是想自己算

8. 一元积分学的概念与性质

我服了爸爸

课后 8.3

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{\sin\frac{i\pi}{n}}{n+\frac 1i}=?$$

课后 8.6

讨论$\int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln^px}dx$的敛散性，其中p为任意实数

1000题 A8.2

$$\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{i=1}^n[\ln(3n-2i)-\ln(n+2i)]=?$$

1000题 A8.4

已知下式，则()

$$M=\int_{-\frac 12}^{\frac 12}(1+\frac{x}{1+x^2})dx, N=\int_0^1\frac{(1+x)\ln^2(1+x)}{x^2}dx, K=\int_0^1\frac{e^x}{1+x}dx$$

(A). M>N>K

(B). N>K>M

(C). K>M>N

(D). K>N>M

错误原因：什么√8

1000题 A8.7

设函数$g(x)$在$[0,\frac 2π]$上连续，若在$(0,\frac 2π)$内有$g'(x)\geq 0$，则对任意的$x∈(0,\frac 2π)$，都有()

(A). $\int_x^{\frac 2π}g(t)\geq\int_x^{\frac 2π}g(\sin t)dt$

(B). $\int_x^1g(t)\leq\int_x^1g(\sin t)dt$

(C). $\int_x^1g(t)\geq\int_x^1g(\sin t)dt$

(D). $\int_x^{\frac 2π}g(t)\leq\int_x^{\frac 2π}g(\sin t)dt$

1000题 A8.8

若$\sqrt{1-x^2}$是$xf(x)$的一个原函数，则$\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx$=?

1000题 A8.9

已知函数$f$是$\int_1^{e^x}\frac{1}{1+t^3}dt$的反函数，则$f'(0)=?$

9. 一元函数积分学的计算

警告

开始重灾区

课后 9.1

已知：

$$\int xf(x)dx=\arcsin x+C$$

求：

$$\int\frac{1}{f(x)}dx$$

课后 9.3

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_e^x(1-\frac 1t)^t·e^{et}dt}{e^{ex}}=?$$

课后 9.6

$$\int\arcsin\sqrt{\frac{x}{a+x}}dx=?$$

课后 9.7

$$\int\frac{\arctan e^x}{\sqrt{x}}dx=?$$

课后 9.10

$$\int_0^{\frac 34 π}\frac{1}{1+\cos^2x}=?$$

课后 9.11

$$\int_{\frac 12}^{\frac 32}\frac{(1-x)\arcsin(1-x)}{\sqrt{2x-x^2}}dx=?$$

课后 9.12

$$\int_{-\frac π4}^{\frac π4}e^{\frac x2}\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{\cos x}}dx$$

课后 9.13

$$\int_0^π\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$$

课后 9.14

$$\int_{-1}^1\frac{x+1}{1+\sqrt[3]{x^2}}dx$$

课后 9.15

已知

$$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{1+\sin x}, &x\geq 0.\\\\ \frac{1}{1+e^x}, &x<0 \end{cases}$$

求下式

$$\int_{-1}^{\frac π4}f(x)dx$$

课后 9.16

求连续函数$f(x)$，使其满足：

$$\int_0^1f(tx)dt=f(x)+x\sin x$$

课后 9.17

设$f(x)=\int_0^1t|t-x|dt$，求$f'(x)$

1000题 A9.1

计算下列不定积分

$$\int \sec xdx$$

$$\int \sec^3xdx$$

$$\int\csc^3xdx$$

$$\int\tan^3xdx$$

$$\int\frac{1}{\sin 2x}dx$$

$$\int\frac{1}{a+b\cos x}dx$$

$$\int\frac{1}{a+b\sin x}dx$$

1000题 A9.4

$$\int_0^1e^{-\sqrt{x}}dx=?$$

1000题 A9.8

$$\int_0^{\frac{π}{4}}\sec^3\theta d\theta$$

1000题 A9.9

设连续函数$f(x)$满足$f(x+1)-f(x)=x\ln x,\int_0^1f(x)dx=0$，则$\int_1^2f(x)dx=?$

1000题 A9.10

设$y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则

$$\int_{\frac 12}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}xydy=?$$

1000题 A9.11

若$e^{-x}$是$f(x)$的一个原函数，则

$$\int_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{x^2}f(\ln x)dx=?$$

1000题 A9.12

若函数$f(x)$连续，$g(x)=\int_0^{2x}f(x+\frac t2)dt$，则当$x\to0^+$时，$g(x)$是$\sqrt{x}$的__

A. 高阶无穷小

B. 低阶无穷小

C. 等价无穷小

D. 同阶非等价无穷小

1000题 A9.15

设$f(x)$在$[-a,a]$上是连续的偶函数，$a>0$，$g(x)=\int_{-a}^a|x-t|·f(t)dt$，则在$[-a,a]$上___

A. g(x)是单调递增函数

B. g(x)是单调递减函数

C. g(x)是偶函数

D. g(x)是奇函数

1000题 A9.16

若$F(x)=\int_{-π}^\pi|x-t|\sin tdt$，则$F'(0)=?$

1000题 A9.17

若函数$y(x)=\int_2^{x^2}e^{-\sqrt{t}}dt$，则

$$\frac{d^2[y(x)]}{dx^2}|_{x=-1}=?$$

1000题 A9.20

设$a_n=\int_0^1x^n\sqrt{1-x^2}dx$，则

$$\lim_{n\to\infty}(\frac{a_n}{a_{n-2}})^n=?$$

1000题 A9.22

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|x|e^{-x^2}dx=?$$

10. 一元函数积分学的几何应用

课后 10.1

双纽线$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$所围成的区域的面积用定积分表示为___

课后 10.3

圆域$x^2+(y-b)^2\leq k^2(0<k<b)$绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

课后 10.5

星形线$x=\cos^3t,y=\sin^3t(0\leq t\leq2π)$的弧长为___

课后 10.6

已知曲线$y=a\sqrt{x}(a>0)$与曲线$y=\ln\sqrt{x}$在点(x_0,y_0)处有公共切线，求：

常数a及切点$(x_0,y_0)$

课后 10.8

计算由摆线$\begin{cases} x=a(t-sint),\\ y=a(1-cost) \end{cases}(a>0,0\leq x\leq 2π)$与x轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积

课后 10.9

求曲线$y=3-|x^2-1|$与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转一周所得旋转体的体积

1000题 A10.1

曲线$y=\frac{1}{x^2+4x+5}$与x轴在区间$(0,+\infty)$上所围成的图形面积为

1000题 A10.3

如图所示，抛物线$y=(\sqrt{2}-1)x^2$把$y=x(b-x)(b>0)$与x轴所围成的闭区域分为面积为$S_A$与$S_B$的两部分，则

A. $S_A<S_B$

B. $S_A=S_B$

C. $S_A>S_B$

D. $S_A,S_B$与B的数值无关

1000题 A10.4

过点$(p,\sin p)$作曲线$y=\sin x$的切线，设该曲线与切线及y轴所围成图形的面积为$S_1$，曲线与直线$x=p$及x轴所围成的图形面积为$S_2$，则

$$\lim_{p\to 0^+}\frac{S_2}{S_1+S_2}=?$$

1000题 A10.5

设$f(x)$具有二阶连续导数，若曲线$y_1=f(x)$过点$(0,0)$，且与曲线$y_2=a^x(a>1)$在点$(1,a)$处相切，$\int_0^1xf''(x)dx=2\ln 2-2$，则a=?

1000题 A10.7

已知函数$f(x)=x\int_1^x\frac{e^{t^2}}{t}dt$，则$f(x)$在$(0,1)$上的平均值为

1000题 A10.8

已知曲线$L:y=e^{-x}(x\geq 0)$，设P是L上的动点，V是L上从点$A(0,1)$到点P的一端弧绕x轴旋转一周所得的旋转体体积，当P运动到点$(1,\frac 1e)$时，设x轴正向的速度为1，求此时V关于时间t的变化率

1000题 A10.9

曲线$y=\ln\sin x(\frac π6\leq x\leq \frac{π}{3})$的弧长为

1000题 A10.11

已知函数$y=y(x)$由方程$y^4-6xy+3=0(1\leq y\leq 2)$所决定，则曲线$y=y(x)$从点$(\frac 23,1)$到点$(\frac{19}{12},2)$的长度为？