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2.1 数列极限

TQ大约 7 分钟

提示

归结原则、夹逼定理、单调有界准则是命题高峰，需要注意

1. 数列的概念

按照某一法则，对每个正整数n都对应着一个确定的实数x0x_0，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列，就称作数列，简记为数列{xn}\{x_n\}

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xnx_n叫做数列的一般项(或者通项)

数列{xn}\{x_n\}可以看做自变量为正整数x的函数：

xn=f(n),n∈N+ x_n=f(n),n∈N_+

当自变量依次取1,2,...,n时，所对应的函数值就排成数列

子列

从数列{xn}\{x_n\}中选取无穷多项(就是取部分个，但还是无穷个)，并且按照原来的先后顺序组成新的数列，就称作原数列的子列

例如，取偶数项和取奇数项，就是两个子列，这两个子列的项在原数列中交错出现

常见的数列：

  1. 等差数列

Sn=n(a1+an)2 S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

  1. 等比数列：

Sn=a1(1−qn)1−q(q≠1) S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\not=1)

  1. 单调数列

对所有正整数n，有an+1≥ana_{n+1}\geq a_n(或反过来)，则称这个数列为单调不减(不增)数列；去掉等号就是单调递增(递减)数列

  1. 有界数列

对所有正整数n，存在正实数M，使得∣an∣≤M|a_n|\leq M，则称这个数列为有界数列

证有界的方式：放缩、最值

常见数列的前n项和

∑k=1nk=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2 \sum_{k=1}^{n}{k}=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

∑k=1nk2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 \sum_{k=1}^{n}{k^2}=1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

∑k=1n1k(k+1)=11∗2+12∗3+⋯+1n(n+1)=nn+1 \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(k+1)}}=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

一个重要数列的结论

对于{(1+1n)n}\{(1+\frac 1n)^n\}，有：

  1. 其单调递增
  2. 当n→∞n\to \infty时，其趋向于e

2. 数列极限的定义

与函数极限定义类似：

设{xn}\{x_n\}为一数列，若存在常数a，对于任意的ϵ>0\epsilon>0(无论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>Nn>N时，∣xn−a∣<ϵ|x_n-a|<\epsilon恒成立，则成常数a是数列的极限，或者称该数列收敛于a，记为：

lim⁡n→∞xn=a \lim_{n\to \infty}x_n=a

如果不存在这样的常数a，就说该数列是发散的

这条式子的无穷大不用写加号，因为n不会是负数，所以可以省略

常用语言

lim⁡n→∞xn=a⇔∀ϵ>0,∃N∈N+,当n>N时，恒有∣xn−a∣<ϵ，此时称xn为n→∞时的无穷小量 \lim_{n\to \infty}x_n=a\Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exist N ∈ N_+,\\\\ \text{当}n>N\text{时，恒有$|x_n-a|<\epsilon$，此时称$x_n$为$n\to\infty$时的无穷小量}

lim⁡n→∞xn=∞⇔∀x>0,∃N∈N+，当n>N时，恒有∣xn∣>x，此时称xn为n→∞时的无穷大量 \lim_{n\to\infty}x_n=\infty\Leftrightarrow\forall x>0,\exist N∈N_+，\\\\\text{当}n>N\text{时，恒有$|x_n|>x$，此时称$x_n$为$n\to\infty$时的无穷大量}

数列收敛与子列收敛的关系

  1. 若数列{an}\{a_n\}收敛，则其任何子列{an}\{a_n\}也收敛，且子列的极限等于原数列的极限

  2. 数列的某个子列收敛不能保证原数列收敛

一个证数列是否发散的方法：对于一个数列，如果能找到一个发散的数列，则原数列也一定发散；如果能找到至少两个收敛的子列，但是它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散

重要结论：

lim⁡n→∞an=0⇔lim⁡n→∞∣an∣=0 \lim_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim_{n\to \infty}|a_n|=0

如果要用夹逼准则证左边，可以转换成右边，这样∣an∣≥0|a_n|\geq 0，就省了一半力气

此结论对函数一样成立，如下：

lim⁡x→x0f(x)=A→lim⁡x→x0∣f(x)∣=∣A∣ \lim_{x\to x_0}f(x)=A\rightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|A|

lim⁡x→x0f(x)=0⇔lim⁡x→x0∣f(x)∣=0 \lim_{x\to x_0}f(x)=0\Leftrightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=0

提示

以上都是用定义解决问题，少考

3. 收敛数列的性质

定理1 若数列{an}\{a_n\}收敛，则其任何子列{an}\{a_n\}也收敛，且子列的极限等于原数列的极限

定理2(唯一性) 给出数列{xn}\{x_n\}，若lim⁡x→∞xn=a\lim_{x\to \infty}x_n=a(存在)，则a是唯一的

定理3(有界性) 若数列{xn}\{x_n\}极限存在，则数列{xn}\{x_n\}有界

定理4(保号性) 设lim⁡xn=a>b\lim x_n=a\color{red}>\color{black}b，则存在N>0，当n>N时，有xn>bx_n\color{red}>\color{black}b(标红符号可反转)，若数列{xn}\{x_n\}从某项起有xn≥bx_n\color{red}\geq\color{black}b，且lim⁡xn=a\lim x_n=a，则a≥ba\color{red}\geq\color{black}b，其中b为任意实数，常考b=0的情形

重要例题

P49 2.5

收敛数列找最大/最小值 -> 在前有限项找最大值/最小值，后面的无限项没有资格参与比较

最值是比较出来的

4. 极限四则运算

此处为了方便展示，所有的 lim⁡\lim都省略下标 n→∞n\to\infty

设lim⁡xn=a\lim x_n=a，lim⁡yn=b\lim y_n=b，则有：

  1. lim⁡(xn±yn)=a±b\lim(x_n\pm y_n)=a\pm b
  2. lim⁡xnyn=ab\lim x_ny_n=ab
  3. 若b≠0b\not=0，则lim⁡xnyn=ab\lim\frac{x_n}{y_n}=\frac ab -> 如果b≠0b\not=0，则大概率在分母上

5. 海涅定理(归结原则)

设f(x)在x0的去心邻域内有定义，则lim⁡f(x)=A\lim f(x)=A存在⇔\Leftrightarrow对任何去心邻域内以x0为极限的数列

{xn}(xn≠x0)\{x_n\}(x_n\not=x_0)，极限lim⁡f(xn)=A\lim f(x_n)=A存在

这是一个连续与离散化相互转换的过程

归结原则指出，函数极限与数列极限可以相互转换

一般来说，会使用lim⁡f(x)=A→lim⁡f(xn)=A\lim f(x)=A\rightarrow \lim f(x_n)=A，反过来也可以证，但是非常困难，不会这么搞

注意：连续不等于图像不断开

例子：书上P51笔记

6. 夹逼准则

若数列{xn}\{x_n\}，{yn}\{y_n\}，{zn}\{z_n\}满足如下条件：

  1. 从某项起，即存在n0∈N+n_0∈N_+，当n>n0n>n_0时，yn<xn<zny_n<x_n<z_n

上式最后可以加等于号

  1. lim⁡yn=a,lim⁡zn=a\lim y_n=a, \lim z_n = a

则数列{xn}\{x_n\}的极限存在，且lim⁡xn=a\lim x_n=a

放缩常用方法如下

总：分为两大方法：

已知(下面给出)

未知(题干给出)

  1. 利用简单的放缩

n⋅umin≤u1+u2+/cdots+un≤n⋅umaxn · u_{min}\leq u_1+u_2+/cdots+u_n\leq n ·u_{max}(无限项常用)

当ui≥0u_i\geq 0时，1⋅umax≤u1+u2+⋯+un≤n⋅umax1· u_{max}\leq u_1+u_2+\cdots+u_n\leq n·u_{max}(有限项常用)

  1. 利用重要不等式

① 设a,b为实数，则有：

a.∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣a. |a\pm b|\leq|a|+|b|

b.∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣b. ||a|-|b||\leq |a-b|

可将上述不等式a.推广为n个实数的情形

②

ab≤a+b2≤a2+b22 \sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

∣ab∣≤a2+b22(重要) |ab|\leq\frac{a^2+b^2}{2}\text{(重要)}

③(重要) 若0<a<x<b,0<c<y<d0<a<x<b,0<c<y<d，则cb<yx<da\frac cb <\frac yx <\frac da

注意下面要反过来，因为1b<1x<1a\frac 1b < \frac 1x < \frac 1a

④ sin⁡x<x<tan⁡x(0<x<π2)\sin x<x<\tan x(0<x<\frac π2)

sin⁡x<x(x>0)\sin x<x(x>0)

⑤tan⁡x<4πx\tan x<\frac 4πx

sin⁡x>2πx\sin x>\frac 2πx

arctan⁡x≤x≤arcsin⁡x(0≤x≤1)\arctan x \leq x \leq \arcsin x (0\leq x \leq 1)

⑥ ex≥x+1(∀x)e^x\geq x+1(\forall x)

x−1≥ln⁡x(x>0)x-1\geq \ln x(x>0)

⑦(重要) 11+x<ln⁡(1+1x)<1x(x>0)\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac 1x)< \frac 1x(x>0)

或

x1+x<ln⁡(1+x)<x(x>0)\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)

  1. (重要) 利用压缩映射原理

① 对数列{xn}\{x_n\}，若存在常数k(0<k<1)k(0<k<1)，使得∣xn+1−a∣≤k∣xn−a∣|x_{n+1}-a|\leq k|x_n-a|，则数列{xn}\{x_n\}收敛于a

② 对数列{xn}\{x_n\}，若xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n),f(x)可导，a是f(x)=xf(x)=x的唯一解，且有∣f′(x)∣≤k<1|f'(x)|\leq k < 1，则{xn}\{x_n\}收敛于a

原理与例题详见P53，②需要用到拉格朗日中值定理

这是简化版的压缩映射原理

7. 单调有界准则

单调有界数列必有极限，若数列{xn}\{x_n\}单增或单减，且有上界或下界，则极限存在

证极限存在的方法

  1. 证单调性
  2. 证函数有界
  3. 极限存在

证明数列{xn}\{x_n\}单调性的常用方法：

  1. (较常见) xn+1−xn>0x_{n+1}-x_n>0或xn+1/xn>1x_{n+1}/x_n>1(同号)
  2. 利用数学归纳法 即：

① 验证n=1成立

② 设n=k成立

③ 证明n=k+1成立

非常常用!!!!

  1. 利用重要不等式(详见上方夹逼准则)

  2. 利用两个重要结论

结论1

若xn−xn−1x_n-x_{n-1}与xn−1−xn−2x_{n-1}-x_{n-2}同号，则{xn}\{x_n\}单调

结论2

对xn+1=f(xn)，xn∈Ix_{n+1}=f(x_n)，x_n∈I

若f′(x)>0,x∈If'(x)>0,x∈I，则数列{xn}\{x_n\}单调，且：

当x2>x1x_2>x_1时，数列单增

当x2<x1x_2<x_1时，数列单减

具体原理是f(x)的图像与y=x图像之间的映射关系

若f′(x)<0f'(x)<0，则数列{xn}\{x_n\}不单调(摆动)

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