3.1 一元函数微分学的概念

1. 导数

导数即函数图像上某一点的瞬时变化率(之后直接忽略瞬时，只叫变化率)

对于一元函数来说，可导=可微

如果函数中$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$存在，则称$f=y=f(x)$在$x_0$处可导，反过来也一样

看到可导就要想起下面的常用形式！！！

两个常用形式：

$$\begin{align*} f'(x_0)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\\\ & = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\\\ & = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{align*}$$

在考题中，上述式子的$\Delta x$一般会被广义化成其他式子，要注意

用到两个常用形式的范例：课后习题3.8

等价的三种说法

1. y=f(x)在点x₀处可导
2. y=f(x)在点x₀处导数存在
3. f'(x₀)=A(A为有限数)

函数在一点可导的充要条件

1. 两侧单侧函数存在

即：

$$\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'_+(x_0)$$

$$\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'_-(x_0)$$

2. $f'(x_0)$存在$\Leftrightarrow$其左导数和右导数(就是上面的单侧函数)存在且相等

导数的定义本质上是一个极限问题

注：参考1000题A6.11

一点导数存在推不出区间内导函数连续

函数在一点可导的必要条件：若f(x)在一点可导，则f(x)在该点连续。反之未必

例如$f(x)=|x|$在x=0处的情形

提示

说人话就是

可导一定连续

连续不一定可导

想想那张自行车图！

注意

f(x)是可导的有界函数$\not\Leftrightarrow$f'(x)是有界函数

但是，如果f(x)在闭区间有界，则f'(x)有界

提示

时刻注意，奇函数取导是偶函数，偶函数取导是奇函数

重要例题

P65 3.5

得出重要结论：对于函数$F(x)=f(x)|x-a|$，$f(a)=0$是$F(x)$在$x=a$处可导的充要条件

换句话说就是，如果$f(x)$和$|x-a|$有相同的零点$x_0$，则在$f(x_0)$会使$|x-a|$可导

2. 导数的几何意义

函数在一点的导数就是这一点的切线斜率

即，曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的切线方程为$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

提示

导数存在，则切线存在

但是切线存在，导数不一定存在，例如铅垂切线

对于如下的形式

$f_n(x)=x^n$

这实际上称为曲线族

其是由一组曲线($n=1,2,\cdots$)组成的

实际上，它是个数列(函数列)

3. 高阶导数

就是一阶导数在x₀的变化率

二阶导数的格式：

$$f''(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f'(x_0+\Delta x)-f'(x_0)}{\Delta x}$$

提示

记住事不过三

只有一到三阶导是有几阶划几划

四阶导开始就是$f^{(4)}(x)$了

提示

如果$f(x)$在点$x_0$有二阶导数，则$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有一阶导数，且$f'(x)$在点$x_0$处连续

进一步推论->

如果$f(x)$在点$x_0$有n阶导数，则$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有$1~(n-1)$阶的各阶导数

4. 微分的概念

例如正方形的这个例子，

$\Delta S=2\Delta x+o(\Delta x)$，其中$2\Delta x$称为线性主部，$o(\Delta x)$是高阶无穷小，是可忽略的误差

定义：

对于函数增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

若存在与$\Delta x$无关的常数A，使得$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$

则称f(x)在点x₀处可微，并把增量的主要部分$A\Delta x$称为线性主部，也叫做f(x)在点x₀处的微分

一元函数可微必可导，可导必可微

A实际上是$f'(x)$，和线性增量无关

我个人理解啊，可微就是增量y可以用增量x乘个常数表示出来，如果不是常数，而是一个变量来表示，说明这个增量y已经无法控制了，也就是说无论增量x多小，增量y也不成正相关

可微的判别(应该重要)

1. 写增量$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
2. 写线性增量$A\Delta x=f'(x_0)\Delta x$
3. 作极限$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}$

如果极限为0，则可微，否则不可微

可微的常用公式

$dx = \Delta x$

$dy = f'(x)dx = A\Delta x$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta y=dy+o(\Delta x)$

为什么一元函数可微和可导等价？

可微→可导 有关系式：

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A\Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x}=A$$

可导→可微 有关系式：

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\overset{脱帽法}{\Longrightarrow}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\alpha\Rightarrow\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$