11.1 积分等式与积分不等式

TQ2024年4月26日大约 2 分钟

1 积分等式

导数和积分的联系：

f(\xi)(b-a)\Rightarrow \int_a^bf(x)dx\text{(积分中值定理)}

f(x)-f(a)\Rightarrow\begin{cases} \int_a^xf'(t)dt&\text{(NL公式，把f(t)看成原函数)}\\\\ f'(\xi)(x-a)&\text{(拉格朗日中值定理)} \end{cases}\\\\ \\ f(x+2)-f(x)\Rightarrow\int_x^{x+2}f(t)dt

放缩：

f(x)<g(x)\Rightarrow\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx

\begin{aligned} |\int_a^b udv|&=\left|uv|_a^b-\int_a^b vdu\right|\\ &\leq \left|uv\right||_a^b+\left|\int_a^bvdu\right|\\ &\leq |uv||_a^b+\int_a^b|v|du \end{aligned}

\begin{aligned} f(x)&=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2\\ &\leq f(0)+f'(0)x \end{aligned}

推广的积分中值定理(可以直接用)：

前提：两函数连续，且 $g(x)$ 恒正或恒负

\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx

注

当使用变限积分做积分中值定理，例如 $\int_a^xf(t)g(t)dt=f(\xi)\int_a^xg(t)dt$ 时

此时的 $\xi$ 并不是确定的值，而是会根据 $x$ 的取值而变更的变量 $\xi(x)$

换言之就是端点的函数

如果是被积函数有变量，那 $\xi$ 就是关于该变量的函数

可以用结论：

\lim_{n\to\infty}\int_0^1x^nf(x)dx=0

用夹逼准则尝试放缩到这个形式就好！

大概。。

带间断点的周期函数

例：11.5

此时可以计算出单个周期的面积积分，然后用夹逼准则，使积分值大于上一个面积，小于下一个面积，然后夹一下就好了

恒等变形、换元法、分部积分法

注意开头提到的积分放缩法，估值

常用做法：将某一积分限(通常取上限)变量化，然后移项，构造辅助函数，用辅助函数的单调性来证明不等式

此方法多用于所给条件为f(x)在[a,b]上连续的情形

此方法多用于所给条件为"f(x)一阶可导"且某一端点值较简单(甚至为0)的题目

就是 $f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$ ， $f(x_0)$ 较简单的情况

见到f,f'，想拉格朗日中值定理

此方法多用于所给条件为f(x)二阶可导且题中有简单函数值的题目

同时常用于函数不可求原函数，但给出了一点函数值，可以用泰勒展开的情况

就是分部积分法那些

当f(x)的原函数难以求得时，可以用分部积分法，将f(x)的原函数转换为f'(x)的原函数，也就是它自身，这样就可以用NL公式了

较少见吧...