5.2 渐近线与最值

1. 渐近线

渐近线即当曲线上的点充分远离原点时，所趋近的一条直线

1. 铅直渐近线

$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$$

则$x=x_0$为一条铅直渐近线

提示

$x_0$既有可能是函数的无定义点，也可能是函数的区间端点，或者是分段函数的分段点

2. 水平渐近线

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=y_1$$

无穷大可以是正负

则$y=y_1$是函数的一条水平渐近线

3. 斜渐近线

当$x\to\infty$时，若$\lim \frac{f(x)}{x}=a(a\not=0),lim[f(x)-ax]=b$，则$y=ax+b$是曲线的一条斜渐近线

注意：一定要a和b同时存在才能有斜渐近线

推导

$$\lim_{x\to\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$$

然后转换就有了！

$\lim \frac{f(x)}{x}$就是同阶无穷大

同时，如果函数阶数大于1，则没有斜渐近线

提示

找渐近线的顺序：

铅直、水平、斜

先找函数的无定义点、区间端点、分段点来找铅直渐近线

然后找函数趋近于两边无穷是不是常数

最后看a和b是否都存在来找斜渐近线

2. 最值或取值范围

1. 最值的定义

如果对于定义域内的一点$x_0$，若对于函数内任意一点，均有$f(x)\leq f(x_0)$，则称该点的值为函数的最大值(最小值)

提示

极值不一定是最值，最值也不一定是极值

极值必须要求双侧区间，所以定义域端点处的最值一定不是极值，因为只有单侧区间

极值仅仅只是一个峰，还可能比一个极值更高或更低的点，所以极值也不一定是最值

但是，位于区间内部的最值一定是极值

2. 求闭区间上连续函数的最大值和最小值

按下列步骤走：

1. 求出函数在开区间上的可疑点——驻点和不可导点，并求出这些点的函数值
2. 求出两侧端点处的函数值
3. 对所有结果进行比对

3. 求开区间上连续函数的最大值和最小值

按下列步骤走：

1. 求出函数在开区间上的可疑点——驻点和不可导点，并求出这些点的函数值
2. 求出两侧端点处的单侧极限值
3. 对所有结果进行比对

提示

省流：能取得到值就取值，取不到值就取极限值

这类问题有时候没有最值

求半开半闭区间的最值或取值范围，只需要求开区间的结果并加上单侧端点函数值即可