8.1 不定积分

1. 原函数与不定积分

定义

设函数$f(x)$定义在某区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，对于该区间上任意一点都有$F'(x)=f(x)$成立，则称$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的一个原函数，称$\int f(x)dx=F(x)+C$为$f(x)$在区间$I$上的不定积分

提示

1. 不定积分要求原函数在区间内全部可导
2. 不定积分指$f(x)$的全体原函数
3. $\int f(x)dx$仅仅只是一个记号，用来标识不定积分或是全体原函数，没有任何计算概念，其与接下来的定积分的意义完全不同
4. 讨论$f(x)$的原函数与不定积分，必须指明所在区间

2. 原函数(不定积分)存在定理

1. 连续函数$f(x)$必有原函数$F(x)$

提示

由定理可知：

$$\int f(x)dx=F(x)=\int_a^x f(t)dt+C$$

即，后者可以作为前者的一个原函数之一

同时还可得关于变限积分的一个求导公式：

$$(\int_a^x f(t)dt)'=f(x)$$

2. 含有第一类间断点和无穷间断点的函数$f(x)$在包含该间断点的区间内必没有原函数$F(x)$

提示

含有振荡间断点的函数可能存在原函数

也就是说，若$F(x)$处处可导，则$F'(x)$既有可能是连续函数，也有可能是含有振荡间断点的函数

3. 函数的导数存在的关系

关系性

1. $f(x)$在$I$上存在：点与点之间无牵无挂，可能离的很远

2. $f(x)$在$I$上连续：点与点之间无限靠近

   $\lim\limits_{X\to x}f(X)=f(x)$

3. $f(x)$在$I$上可导：点与点之间靠的更近

   $f'(x)=\lim\limits_{X\to x}\frac{f(X)-f(x)}{X-x}=0\text{或}a(a\not=0)$

   可以推出第二条中的式子(都趋于0)

   意味着，点与点之间贴的更近了

   要求上面靠近的程度不能慢于下面

连续性

1. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x_0)$存在$\not\Longrightarrow f(x_0)$在$x_0$连续

2. $f(x)$可导，且$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x_0)=a\Longrightarrow f'(x)$在$x_0$处连续

也就是说有：

$$F'(x)\text{极限存在}\Longleftrightarrow F'(x)\text{连续}$$

介值性

1. $f(x)$存在$\not\Longrightarrow f(x)$有介值性(可能存在跳跃间断点)

2. $f'(x)$存在$\Longrightarrow f'(x)$有介值性

保号性

1. $f'(x)$存在且不为0$\Longrightarrow f'(x)$必保号(恒正或恒负)，函数必然单调

存在性

1. $f'(x)$在区间$[a,b]$上存在，则$f'(x)$无第一类间断点