8.3 变限积分

1. 概念

当x在$[a,b]$上变动时，(即让b成为变量)，对于每一个x值，积分$\int_a^xf(t)dt$都有一个确定的值，因此$\int_a^xf(t)dt$是一个关于x的函数，记作

$$F(x)=\int_a^xf(t)dt(a\leq x\leq b)$$

称F(x)为变上限的定积分。同理可以定义变下限的定积分和上下限均变化的定积分(但似乎少有)，这些都称作变限积分。

变限积分就是定积分的推广

提示

变上限积分$F(x)$是$f(x)$的其中一个特殊的原函数

即$F(a)=0$，但$f(x)$的原函数x=0时不一定为0，差的是任意常数C

几何角度分析

实际上，变限积分就相当于$f(x)$在固定好a点后，随着x点浮动，与x轴所围成的面积随着x点移动而改变

意思差不多就是面积和x轴长度的关系(?)

特别地，有：

$$\color{red}(\int_a^x f(t)dt)'=f(x)$$

按照原函数的定义，所以我们可以说，$\int_a^x f(t)dt$是$f(x)$的其中一个原函数

2. 性质

1. 若$f(x)$在I上可积，则函数$F(x)=\int_a^xf(t)dt$在I上连续

2. 若$f(x)$在I上连续，则函数$F(x)=\int_a^xf(t)dt$在I上可导且$F'(x)=f(x)$

3. 若$x=x_0∈I$是$f(x)$唯一的跳跃间断点，则$F(x)=\int_a^xf(t)dt$在$x_0$处不可导，且左右极限不相等

4. 若$x=x_0∈I$是$f(x)$唯一的可去间断点，则$F(x)=\int_a^xf(t)dt$在$x_0$处可导，且$F'(x)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$

提示

$f(x)$可积$\not\Rightarrow f(x)$连续

但是$F(x)$存在$\Rightarrow f(x)$连续

$f(x)$可导$\Rightarrow$连续$\Rightarrow$可积$\Rightarrow$有界

常用方法

1. 放缩不等式
2. 亡羊补牢<未雨绸缪
3. 有界性