14.1 概念、性质与对称性

1. 概念

和定积分的概念差不多

• 分割：将闭区域D任意分割成n个小闭区域
• 近似：将小闭区域的"顶部"近似于函数的值
• 求和：将所有小闭区域的体积加起来
• 取极限：设小闭区域的直径$\lambda$均趋于0

若总和的极限总存在，则该极限值为函数在闭区域上的二重积分，记作$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma$，即

$$\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

其中，$f(x,y)$称为被积函数，$f(x,y)d\sigma$称为被积表达式，$d\sigma$称为面积元素($d\sigma>0$)，x与y称为积分变量，D称为积分区域，$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$称为积分和

若$f(x,y)$在有界闭区域D上连续，则二重积分$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma$一定存在

它的几何意义就是一个曲顶柱体的体积，其中曲顶就是二元函数的几何状态

提示

如果$f(x,y)$是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍然代表柱体的体积，但是其代数值为负数

如果$f(x,y)$在积分区域上一部分是正的，一部分是负的，则它在区域D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去下方的柱体体积

2. 性质

1. 求区域面积

$$\iint\limits_D1·d\sigma=\iint\limits_Dd\sigma=A$$

其中，A为区域D的面积

2. 可积函数必有界

当$f(x,y)$在有界闭区域D上可积时，$f(x,y)$在D上必有界

3. 积分的线性性质

设$k_1,k_2$为常数，则

$$\iint\limits_D[k_1f(x,y)\pm k_2g(x,y)]d\sigma=k_1\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\pm k_2\iint\limits_Dg(x,y)d\sigma$$

4. 积分的可加性

设$f(x,y)$在有界闭区域D上可积，且$D_1∪D_2=D,D_1∩D_2=∅$，则

$$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint\limits_{D_2}f(x,y)d\sigma$$

5. 积分的保号性

当$f(x,y),g(x,y)$在有界闭区域D上可积时，若在D上有

$$f(x,y)\leq g(x,y)$$

则有

$$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\leq\iint\limits_Dg(x,y)d\sigma$$

特殊地，仍有亡羊补牢<未雨绸缪的结论，即

$$\left|\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\right|\leq\iint\limits_D\left|f(x,y)\right|d\sigma$$

6. 二重积分的估值定理

设$M,m$分别是$f(x,y)$在有界闭区域D上的最大值和最小值，A为D的面积，则有

$$mA\leq\iint\limits_Df(x,y)d\sigma\leq MA$$

提示

这个定理要引起重视，可能是之后的常用思路

7. 二重积分的中值定理

设函数$f(x,y)$在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点$(\xi,\eta)$，使得

$$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)A$$

提示

可以将二重积分和一重积分的中值定理联系起来

$$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$$

提示

如果出现$\iint_Df(x,y)d\sigma$难以计算的情况，可以考虑利用二重积分的中值定理来处理

8. 补充

判断多个二元函数在同一区域D上的二重积分大小的方法

先看区域D的边界线，然后看这几个二元函数有多少正的值位于区间内，挨个判断就行了

注意要判断边界线里面是正还是外面是正

可能会用上的面积公式

椭圆的面积公式：$\pi ab$

3. 普通对称性和轮换对称性

1. 普通对称性

提示

先看面积是否对称

面积对称后，代入对应的值，判断被积二元函数关于对称轴的关系

核心：偶倍奇零

$$\begin{cases} \text{(D关于x轴对称)}\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\begin{cases} 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy, &\text{f(x,y)关于x轴是偶函数}\\\\ 0,&\text{f(x,y)关于x轴是奇函数} \end{cases}\\\\ \text{(D关于y轴对称)}\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\begin{cases} 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy, &\text{f(x,y)关于y轴是偶函数}\\\\ 0,&\text{f(x,y)关于y轴是奇函数} \end{cases}\\\\ \text{(D关于原点对称)}\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\begin{cases} 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy, &\text{f(x,y)关于原点是偶函数}\\\\ 0,&\text{f(x,y)关于原点是奇函数} \end{cases}\\\\ \text{(D关于y=x对称)}\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\begin{cases} 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy, &\text{f(x,y)关于y=x是偶函数}\\\\ 0,&\text{f(x,y)关于y=x是奇函数} \end{cases} \end{cases}$$

2. 轮换对称性

在直角坐标系下的二重积分，若将x和y对调后，积分区域D不变，或积分区域D关于$y=x$对称，则有

$$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\iint\limits_Df(y,x)d\sigma$$

称为轮换对称性

提示

使用轮换对称性后得到的积分并不能减少复杂度，因为其和原积分是差不多的

但是，轮换对称性的意义在于使$f(x,y)+f(y,x)$或$f(x,y)·f(y,x)$更简单

提示

注意区分普通对称性和轮换对称性

普通对称性的重点在于偶倍奇零来减少复杂度

而轮换对称性的重点在于使用$f(x,y)+f(y,x)$或$f(x,y)·f(y,x)$来减少复杂度