15.1 微分方程的概念

微分方程——y及其各阶导数之间的关系

1. 微分方程及其阶

表示未知函数及其导数(或者微分)与自变量之间关系的方程称为微分方程

一般写作：

$$F[x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}]=0\text{或}y^{(n)}=F[x,y,y',y'',\cdots,y^{(n-1)}]$$

提示

微分方程最终的研究对象是y

微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶，如$y'''-y''+6y=0$是三阶微分方程

2. 常微分方程

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，如$y'''-y''+6y=0$

特别地，偏微分方程是针对多元函数的偏导数

3. 线性微分方程

$$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$$

如上式的微分方程称为n阶线性微分方程

当$a_k(x)$都是常数时，称为n阶常系数线性微分方程

若$f(x)\equiv 0$，则称为n阶齐次线性微分方程

若$f(x)\not\equiv0$，则称为n阶非齐次线性微分方程

4. 微分方程的解

若将该函数代入微分方程，使方程称为恒等式，则该函数称为微分方程的解。

微分方程解的图形称为积分曲线。

提示

积分曲线就是这个函数的图像

有时候可能会根据变量有多个解，此时称为积分曲线族

5. 微分方程的通解

若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解

提示

独立常数，即经任何恒等变形都不能使常数个数减少

这个常数不一定是任意常数，有可能是在一定范围内取值的常数

6. 初始条件与特解

确定通解中部分常数的条件就是初始条件

当通解中所有常数均被确定时，解就成了特解

提示

非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次的一个特解

提示

有时候不一定要求出微分方程的解，有些情况可以直接根据该微分方程得到各阶导数之间的联系情况