15.2 一阶微分方程的求解

TQ大约 3 分钟

1. 可分离变量型微分方程

核心：各回各家，各找各妈

能写成 $y'=f(x)g(y)$ 形式的方程称为可分离变量型微分方程，其解法为

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx

形如 $\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ 的方程，其中常数全不为0

解法：令 $u=ax+by+c$ ，两边对x求导得 $\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$ ，将原方程代入即可得到

\frac{du}{dx}=a+bf(u)

提示

牢记不定积分要加C

对于ln的形式，常数可写为lnC，方便合并

形如 $\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$ 的方程叫作齐次型微分方程，其解法是令 $u=\frac yx$ ，则

y=ux\overset{\text{两边求导}}{\Longrightarrow} \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}

于是原方程变为 $x\frac{du}{dx}+u=\varphi(u)$ ，即

\frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}

形如 $y'+p(x)y=q(x)$ 的方程称作一阶线性微分方程，其中 $p(x),q(x)$ 为已知的连续函数，其通解公式为：

y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}·q(x)dx+C\right]

提示

这里的 $\int p(x)dx$ 结果没必要加C，这里表示任一原函数即可

若在这个公式的计算过程中，出现了 $\int p(x)dx=\ln|\varphi(x)|$ ，则无需加绝对值，但仅限这种情况。其他情况一律要加绝对值

提示

该公式亦可写作如下形式

y=e^{-\int_{x_0}^x p(t)dt}\left[\int e^{\int_{x_0}^t p(s)ds}·q(t)dt+C\right]

此解法在研究解的性质时颇为有用，参考例题15.9

要养成写成变限积分的意识，比如说求极限时写成变限积分，可以直接用洛必达

提示

在遇到 $dy/dx$ 极难计算时，要考虑互换y,x的角色，写成 $dx/dy$ ，将y看作x的自变量

核心：用换元法化简微分方程，化成考纲内的基本型

形如

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n(n\not=0,1)

的方程叫作伯努利方程，其中 $p(x),q(x)$ 为已知的连续函数，其解法为：

先变形为 $y^{-n}·\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x)$
令 $z=y^{1-n}$ ，得 $\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$ ，则 $\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$
解此一阶线性微分方程即可

提示

看到类似 $\ln y$ 的形式，应该想到交换xy，因为 $\ln y$ 不属于基本型，无法套公式。应该作为已知函数使用

$y''=f(x,y')$ 型

\frac{dp}{dx}=f(x,p)

即：赶尽杀绝y

y=\int\varphi(x,C_1)dx+C_2

$y''=f(y,y')$ 型

令 $y'=p$ ，其中 $p=p(y)$ ，则
$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}·p$

则原方程变为一阶方程 $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

即：斩草除根x，一点x都不留下

若求得其通解为 $p=\varphi(y,C_1)$ ，则由 $p=\frac{dy}{dx}$ 可得 $\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1)$ ，分离变量得

\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=dx

$y''=f(y')$ 型

按照不显含y来处理