5.1 极值点与拐点

1. 极值的定义

基础定义不写了

注意以下几点：

1. 极值是针对局部而言的，也就是$x_0$的邻域
2. 极值要求$x_0$的双侧邻域均有定义
3. 区间端点处和间断点不讨论极值(没有双侧邻域)

提示

常函数处处是极值

间断点有时候也可能是极值

2. 单调性和极值的判别

1. 单调性的判别

注意一点导数无法决定区间单调性

设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则有：

1. 如果开区间内一阶导$\geq0$，则函数在闭区间内严格单增
2. 如果开区间内一阶导$\leq0$，则函数在闭区间内严格单减

等号仅在有限个点处成立

2. 一阶可导点是极值点的必要条件

若函数在一点可导，且在该点处取得极值，那么该点一阶导数为0

$f'(x)=0$为该点是极值点的必要条件

提示

极值只有两种情况：驻点、不可导点

如果对于一个函数要找极值，则对着这两种点找就行了

驻点指一阶导数为0的点

3. 判别极值的第一充分条件

设$f(x)$在$x=x_0$处连续(不一定可导)，且在$x_0$处的某去心邻域内可导

左邻域	右邻域	结果
$f'(x)<0$	$f'(x)>0$	极小值
$f'(x)>0$	$f'(x)<0$	极大值
同号	同号	非极值

4. 判别极值的第二充分条件

(常用)(大概)

设$f(x)$在$x=x_0$处二阶可导，且$f'(x_0)=0,f''(x_0)\not=0$

1. 若$f''(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
2. 若$f''(x_0)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值

提示

记住二阶导负大正小

提示

$f'(x)<0$或$f'(x)>0$是$f(x)$取得极值的充分不必要条件

5. 判别极值的第三充分条件

第二充分条件的推广

如果$f(x)$n阶可导，且n-1阶导及以下的导数全为0，但n阶导不为0，则，如果n是偶数：

$f^{(n)}(x_0)<0$时，$f(x)$取得极大值

$f^{(n)}(x_0)>0$时，$f(x)$取得极小值

提示

$f''(x_0)<0$(在$f'(x_0)=0$条件下)是$f(x)$在$x_0$处取得极大值的充分不必要条件

意味着，如果已经告知二阶可导并有极大值，则有$f''(x_0)\leq0$

3. 凹凸性与拐点的概念

1. 凹凸性的定义

定义1：

设f(x)在区间I上连续，则如果对于I上任意不同的两点$x_1,x_2$，都有：

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$

即，曲线上两点之间的任意一点，都小于两点之间的弦

则称f(x)在区间I上的图形是凹的

反过来，就是凸的

推广(我也不知道有没有用)

如果曲线是凹或凸，可以将上述定义更一般地写为

$$f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)<\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$$

凸的就反过来

其中$o<\lambda_1<1,0<\lambda_2<1,\lambda_1+\lambda_2=1$

定义2：

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，若对开区间内任意的x及$x_0(x\not=x_0)$，均有：

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)<f(x)$$

即，该点的切线方程恒小于曲线上区间内的其他所有点

，则称$f(x)$在闭区间上的图形是凹的(凸的符号反过来)

2. 拐点的定义

连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点

拐点的特性

1. 拐点只需连续，不一定可导
2. 拐点在曲线上，记作$(x_0,f(x_0))$

4. 凹凸点与拐点的判别

1. 判别凹凸性

假如函数在I上二阶可导

如果I上二阶导大于0，则为凹型

如果I上二阶导小于0，则为凸型

速记

凹形就像一个碗，落下来，里面的东西就多了，就加了(+)

凸形就像一个倒过来的碗，里面的东西掉下去了，就减少了(-)

2. 二阶可导点是拐点的必要条件

如果函数一点的二阶导存在，且该点为拐点，则该点的二阶导为0

提示

如果一点是函数的拐点，则只可能是两种情况

1. 该点的二阶导为0
2. 该点导数不存在(无穷)

3. 判断拐点的第一充分条件

(重要)

设$f(x)$在$x=x_0$处连续，在点$x=x_0$的某去心邻域内存在二阶导数，且该点的左右邻域内$f''(x)$变号，则该点为函数的拐点

提示

哪怕该点二阶导不存在，只要一边是正无穷一边是负无穷，也算变号，就是拐点

4. 判断拐点的第二充分条件

设$f(x)$在$x=x_0$的某邻域内三阶可导，且$f''(x)=0$，$f'''(x)\not=0$，则该点为曲线的拐点

一阶导无所谓

5. 判断拐点的第三充分条件

第二充分条件的推广

如果$f(x)$n阶可导，且n-1阶导及以下的导数全为0，但n阶导不为0，则，如果n是奇数，那么该点为曲线的拐点

拐点和极值点的区分

特性	极值点	拐点
第一充分条件	判断一阶导的变号情况 左高右低是极大 左低右高是极小	判断二阶导是否变号
第二充分条件	判断一阶导是否为0 且二阶导是否不为0	判断二阶导是否为0 且三阶导是否不为0
第三充分条件	判断偶数阶导是否不为0	判断奇数阶导是否不为0

5. 极值点和拐点的重要结论

(重要) 以下结论可以直接在客观题使用，无需证明

1. 曲线的可导点不可以同时为极值点和拐点，但是不可导点可以同时为极值点和拐点

2. 设多项式函数$f(x)=(x-a)^ng(x)(n>1)$,且$g(a)\not=0$

   则当n为偶数时，$x=a$是$f(x)$的极值点；

   当n为奇数时，$(a,0)$是曲线的拐点.

3. 设多项式函数$f(x)=(x-a_1)^{n_1}(x-a_2)^{n_2}\cdots(x-a_k)^{n_k}$，其中$n_i$为正整数，$a_i$是实数且两两不相等

记$k_1$为一次方的个数，$k_2$为偶次方的个数，$k_3$为大于1的奇次方的个数

则$f(x)$的极值点个数为$k_1+2k_2+k_3-1$

$f(x)$的拐点个数为$k_1+2k_2+3k_3-2$

提示

若$\alpha$是$f(x)=0$的$m\geq1$重根，则$\alpha$是$f'(x)=0$的$m-1$重根

若$x-\alpha$是$f(x)$的k重因式，则$\alpha$称为$f(x)=0$的k重根