6.1 中值定理

TQ大约 4 分钟

1. 涉及函数的中值定理

所有前提: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续

1. 有界与最值定理

设 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，则 $m\leq f(x)\leq M$

2. 介值定理

当 $m\leq μ\leq M$ 时，存在 $\xi ∈ [a,b]$ ，使得 $f(\xi)=μ$ ，值域内的函数值必能找到对应的自变量

3. 平均值定理

当 $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 中间至少存在一点 $\xi$ ，使得

f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}

4. 零点定理

当 $f(a)·f(b)<0$ 时，存在 $\xi∈(a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ ，一正一负，中间有零

零点定理推广

若函数在开区间内连续，但两端单侧极限已知且一正一负，则同样可以运用零点定理

这里的已知既可以是有限数，也可以是一个正无穷一个负无穷

推论： 导数零点定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，当 $f'_+(a)·f'_-(b)<0$ 时，存在 $\xi∈(a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$

隐含条件及说明

$f'(x)$ 存在
$f(x)$ 不需要连续
导数零点定理是零点定理的推论

2. 涉及导数(微分)的中值定理

5. 费马定理

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f'(x_0)=0$

6. 罗尔定理

设 $f(x)$ 满足闭区间连续，开区间可导，且 $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\xi∈(a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$

罗尔定理推广

同零点定理，端点处仍有可能取不到值

这个时候取极限就可以了，极限值相等也能用

罗尔定理的常用辅助函数

f'+f\Longrightarrow F(x)=f(x)·e^x

f'-f\Longrightarrow F(x)=f(x)·e^{-x}

f'·f\Longrightarrow F(x)=f^2(x)

f'/f\Longrightarrow F(x)=\ln(f(x))

f''+f\Longrightarrow f''+f'-(f'+f)

罗尔定理的常用考法

已知两函数值，求证区间内某一阶导为0

有时会问二阶导，这个时候就要找三个值，分别用两次罗尔定理

然后再在两次罗尔定理得到的结果在用一次罗尔定理，即可得到二阶导的结论

7. 拉格朗日中值定理

若函数 $f(x)$ 满足在闭区间连续，开区间可导，则存在 $\xi∈(a,b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

或者写成：

f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

可用拉格朗日定理证明：函数在区间内可导且导函数有界，则函数在区间内有界

如何理解？

函数曲线上，至少存在一点，使得该点切线斜率等于两点弦的斜率

8. 柯西中值定理

设 $f(x),g(x)$ 均满足闭区间连续，开区间可导，且 $g'(x)\not=0$ ，则存在 $\xi∈(a,b)$ ，使得

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

提示

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理实际上是一个定理

罗尔定理是拉格朗日定理的一种特殊情况(b=a)，而柯西中值定理是同样的定理用参数方程所表示出来的结果

9. 泰勒公式

我的妈这个真的太难理解了

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式( 区间上 )

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x，均有

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n-\color{red}{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}

其中， $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间

提示

此公式适用于区间，常在证明题中使用，如证不等式，中值等式等

带佩亚诺余项的n阶泰勒公式( 局部端点上 )

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 上n阶可导，则对存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任意点x，有

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n-\color{red}{o((x-x_0)^n)}

提示

此公式仅使用于点 $x=x_0$ 及其邻域，常用于研究点 $x=x_0$ 处的某些结论，

如求极限，判定无穷小阶数，判定极值等

提示

当 $x_0=0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式

实际上，标红的两部分可以是等价的？

加餐牛顿插值法

核心：用一条多次曲线来近似原函数的曲线，从而求值

前提：题目给出函数两点函数值，同时给出另一额外条件

y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1

将值依次代入，并且根据额外条件，另外在式子尾部加入 $b(x-x_1)(x-x_2)$ 等多次根，从而使函数符合条件

然后，设 $F(x)=f(x)-y$ ，因为符合题设条件( $f(x_1)=y(x_1)$ 、 $f(x_2)=y(x_2)$ )，则 $F(x)=0$

于是，就得到了一系列恒等式

闭区间连续，开区间可导

罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理