6.2 微分等式

三个概念等价：

• 方程$f(x)$的根
• 函数$f(x)$的零点
• 两条曲线的交点

讨论方程的根的问题可以考虑以下几种方法：

1. 零点定理与单调性

零点定理——证明根的存在性

若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)·f(b)<0$，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至少有一个根

单调性——证明根的唯一性

若$f(x)$在$(a,b)$内单调，则$f(x)=0$在$(a,b)$内至多有一个根，这里的区间可以是有限区间，也可以是无穷区间

提示

这两点常常连在一起使用，即证明$f(x)=0$有且仅有一个根

2. 罗尔定理及其推论

当不易使用零点定理时，可考虑罗尔定理及其推论

设$f(x)$在区间$I$上$n$阶可导，且$f^{(n)}(x)\not=0$，即$f^{(n)}(x)=0$无实根(至多有0个根)，则$f(x)=0$至多有$n$个根

推论：若即$f^{(n)}(x)=0$至多有k个根，则$f(x)=0$至多有$k+n$个根

3. 实系数奇次方程至少有一个实根

实系数奇次方程——即方程的最高次数为奇数，且所有系数均为实数