6.3 微分不等式

1. 使用函数性态证明不等式

1. 若有$f'(x)\geq0,a<x<b$，则有$f(a)\leq f(x)\leq f(b)$

2. 若有$f''(x)\geq0,a<x<b$，则有$f'(a)\leq f'(x)\leq f'(b)$

   $\Longrightarrow$ 当$f'(a)>0$时，$f'(x)>0\Rightarrow f(x)$单调增加

   $\Longrightarrow$ 当$f'(a)<0$时，$f'(x)<0\Rightarrow f(x)$单调减少

3. 设$f(x)$在$I$内连续，且有 唯一 的极值点$x_0$，则

   $\Longrightarrow$ 当$x_0$为极大值点时，即为$I$内的最大值点

   $\Longrightarrow$ 当$x_0$为极小值点时，即为$I$内的最小值点

4. 若有$f''(x)>0,a<x<b,f(a)=f(b)=0$，则有$f(x)<0$

即函数的凹凸性

2. 使用常数变量化证明不等式

即有多个未知常数时，可以考虑构造函数，使其转换为变量，然后利用已知的大小关系推出构造所得函数的大小关系，从而解决不等式

3. 用中值定理证明不等式

主要使用拉格朗日中值定理或者泰勒公式

详见P123 例题6.21