8.4 反常积分

即：广义积分

与先前的常义积分不同

如果破坏了积分区间的有界性，就引出了无穷区间上的反常积分

如果破坏了被积函数的有界性，就引出了无界函数的反常积分

1. 反常积分的概念

1. 无穷区间上反常积分的概念与敛散性

即：无穷小比阶

设$F(x)$是$f(x)$在相应区间上的一个原函数

$$\int_a^{+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}F(x)-F(a)$$

$$\int_{-\infty}^bf(x)dx=F(b)-\lim_{x\to-\infty}F(x)$$

若上述二者极限存在，则反常积分收敛，否则称发散

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{x_0}f(x)dx+\int_{x_0}^{+\infty}f(x)dx$$

若右端二者均收敛，则反常积分收敛，否则称发散

2. 无界函数的反常积分的概念与敛散性

即：无穷大比阶

若$x=a$是唯一瑕点，则

$$\int_b^af(x)dx=F(b)-\lim_{x\to a^+}F(x)$$

若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散

若$x=b$是唯一瑕点，则

$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{x\to b^-}F(x)-F(a)$$

若上述极限存在，则称反常积分收敛，否则称发散

若$x=c∈(a,b)$是唯一瑕点，则

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$

若右端二者均收敛，则反常积分收敛，否则称发散

提示

瑕点：函数无界的点

不存在发散+发散=收敛的情况，只要有一个发散就不可能收敛

注意$\int_{-\infty}^{+\infty}x^3dx\not=0$，因为$\infty+(-\infty)\not=0$

注意一个积分中只能有一个奇点，这是判别敛散性的前提，否则需要分割区间

2. 敛散性的判别法

1. 无穷区间

比较判别法

两个函数区间上连续，$0\leq f(x)\leq g(x)$，一个压一头

则上面收敛，下面一起收敛

下面发散，上面一起发散

比较判别法的极限形式

两个函数区间上连续，且$f(x)\geq0,g(x)>0,\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$，则

当它们是等价无穷小($\lambda\not =0 \& \lambda\not=\infty$)时，两者具有相同敛散性

当$\lambda=0$时($f(x)$在$g(x)$底下)，$g(x)$收敛，$f(x)$也收敛

当$\lambda=\infty$时($f(x)$在$g(x)$头上)，$g(x)$发散，$f(x)$也发散

2. 无界函数

比较判别法

两个函数区间上连续，$0\leq f(x)\leq g(x)$，且具有相同瑕点$x=a$，一个压一头

则上面收敛，下面一起收敛

下面发散，上面一起发散

比较判别法的极限形式

两个函数区间上连续，且$f(x)\geq0,g(x)>0,\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$，且具有相同瑕点$x=a$，则

当它们是等价无穷小($\lambda\not =0 \& \lambda\not=\infty$)时，两者具有相同敛散性

当$\lambda=0$时($f(x)$在$g(x)$底下)，$g(x)$收敛，$f(x)$也收敛

当$\lambda=\infty$时($f(x)$在$g(x)$头上)，$g(x)$发散，$f(x)$也发散

提示

这种方法最关键的是比较的对象需要找对

3. P积分

$$\begin{aligned} \int_0^1\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} \text{收敛，}&0<p<1\\\\ \text{发散，}&p\geq 1 \end{cases}\\\\ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases} \text{收敛，}&p>1\\\\ \text{发散，}&p\leq 1 \end{cases} \end{aligned}$$

提示

只要是$\frac 1x$，两边均发散

同时可以引出下列结论：(证明参照30讲P154~P155)

$$\begin{aligned} \int_0^1\frac{\ln x}{x^p}dx\begin{cases} \text{收敛，}&0<p<1\\\\ \text{发散，}&p\geq 1 \end{cases}\\\\ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p}dx\begin{cases} \text{收敛，}&p>1\\\\ \text{发散，}&p\leq 1 \end{cases} \end{aligned}$$

即：$\ln x$的趋近速度实在过慢，不影响

提示

有时候可以广义化为$\frac{1}{\text{狗}^p}$的形式

什么狗P公式

注意要$x \backsim \text{狗}$

特殊结论1

$$\int_a^{+\infty}|f(x)|dx\text{收敛}\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)dx\text{收敛}$$

特殊结论2

当$f(x)$为偶函数且$\int_0^{+\infty}f(x)dx$收敛时，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\int_0^{+\infty}f(x)dx$$

当$f(x)$为奇函数且$\int_0^{+\infty}f(x)dx$收敛时，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0$$

俗称偶倍奇零

注意只有积分收敛才能用，发散不能用

计算小总结

比较的方法：

1. 放缩
2. 计算
3. P积分结论