13.1 多元函数微分学的基本概念

1. 邻域

$\delta$ 邻域 设$P_0(x_0,y_0)$是$xOy$平面上的一个点，$\delta$是某一正数，与$P_0(x_0,y_0)$的距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta)$，即

$$U(P_0,\delta)=\{P| \left|PP_0\right|<\delta\}$$

或者

$$U(P_0,\delta)=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\}$$

几何含义：其实就是一点的圆内所有的点

去心$\delta$ 邻域 点$P_0$的去心$\delta$邻域，记作$U(P_0,\delta)$，即

$$\overset{\circ}{U}(P_0,\delta)=\{P| 0<\left|PP_0\right|<\delta\}$$

如果不需要强调邻域的半径，一般就是用附近的含义

2. 极限

设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，$P_0(x_0,y_0)∈D$或为区域$D$边界上的一点

如果对于任意给定的$\epsilon>0$，总存在$\delta >0$，当点$P(x,y)∈D$，且满足$0<|PP_0|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$时，恒有

$$|f(x,y)-A|<\epsilon$$

则称常数A为$(x,y)\to(x_0,y_0)$时$f(x,y)$的极限，记作

$$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\\\\ \text{或}\lim_{\overset{{x\to x_0}}{{y\to y_0}}}f(x,y)=A\\\\ \text{也常记作}\lim_{P\to P_0}f(P)=A \end{aligned}$$

称为二重极限

提示

1. 一元极限中趋近路线仅有两条(正趋近和负趋近)，但是二元极限有无穷种趋近路线
2. 若有两条不同路径使$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$的值不相等，或存在某一路径使极限$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$的值不存在，则都说明$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$的值不存在
3. 除了洛必达和单调有界准则外，都可以照搬一元函数求极限的方法来求二重极限

二重极限保留的一元极限的性质：

• 唯一性
• 局部有界性
• 局部保号性
• 运算规则
• 脱帽法
• ...

可以使用的规则：

• 等价无穷小替换
• 夹逼准则
• ...

4. 路径是指，例如让变量y以y=x的路径趋近于点，也就是令y=x！大概这个意思吧...

提示

按照先前一元极限的定义，有

$$f_x'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\\\\\space \\\\\space \overset{x_0+\Delta x=x}{\Longrightarrow}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$$

3. 连续

若$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续。

若$f(x,y)$在区域$D$上每一点处都连续，则称$f(x,y)$在区域$D$上连续

4. 偏导数

1. 定义

这里是针对一点的含义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，如果极限

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对x的偏导数，有如下若干种记法

$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right | _{\overset{x=x_0}{y=y_0}},\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right |_{\overset{x=x_0}{y=y_0}},\left.z_x'\right |_{\overset{x=x_0}{y=y_0}},f_x'(x_0,y_0)$$

即

$$f_x'(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

对一点的y的偏导数就是把x换成y

2. 偏导函数

如果$z=f(x,y)$在区域$D$上的每一点$(x,y)$处都有偏导数，一般来说，这些点的偏导数仍然是$x,y$的函数，则称为$f(x,y)$的偏导函数，简称偏导数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x}...$$

提示

$$\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right|_{(x_0,y_0)}=\left.\frac{d^2[f(x,y_0)]}{dx^2}\right|_{x=x_0}$$

意思是，对于左式来说，可以代个值进去，使其变为一元函数的微分

3. 几何意义

对x的偏导数相当于对于该点沿着平行于x轴竖直切开，然后对截面的一元函数进行求导

对y轴同理

4. 高阶偏导数

如果二元函数$z=f(x,y)$的偏导数仍然具有偏导数，则他们的偏导数称为$z=f(x,y)$的二阶偏导数，记作

$$\begin{aligned} & \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=f_{xx}''(x,y)=z_{xx}''\\\\ & \frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=f_{xy}''(x,y)=z_{xy}''\text{(先x后y)}\\\\ & \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=f_{yy}''(x,y)=z_{yy}''\\\\ & \frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=f_{yx}''(x,y)=z_{yx}''\text{(先y后x)}\\\\ \end{aligned}$$

其中$\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y},\frac{\partial^2z}{\partial y \partial x}$称为二阶混合偏导数，类似地可以定义3及以上阶导数(但一般不会有)

5. 求导次序

如果两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则他们在连续的条件下与求导的次序无关

提示

在计算偏导数$f_x'(x_0,y_0)$时，有两种方式：

1. 先代入$y_0$，再求导，代入$x_0$
2. 先求导，再代入$x_0,y_0$

一般情况下，第一种方法可能可以更简便地求出答案

6. 积分

若已知$f_x'(x,y)$，欲求$f(x,y)$，则只对x进行积分，并且之后要单独加一个$\varphi(y)$，即全是自变量y的多项式，因为原式求导后会把这个消去！

5. 可微

1. 定义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某实心邻域内有定义，若$z=f(x,y)$在该点的全增量

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

可表示为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$$

$A\Delta x+B\Delta y$称为线性增量

其中$A,B$仅与点$(x,y)$有关，而与$\Delta x,\Delta y$无关；$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，且当$\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$时，$o(\rho)$为$\rho$的高阶无穷小，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，

并称$A\Delta x+B\Delta y$为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分，记为

$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$

提示

$dz=A\Delta x+B\Delta y$称为主要部分

同时其中：

$$\begin{cases} A=f_x'(x,y)\\\\ B=f_y'(x,y) \end{cases}$$

2. 可微的必要条件

若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，则该函数在该点的偏导数必存在，且

$$A=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}$$

警告

但是，只知道两个方向的变化率(偏导数)存在，推不出其在所有方向可微

由此可得，若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，则全微分可记为：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

3. 可微的充分条件

若函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的偏导数存在且连续，则该函数在该点可微

与上述充分条件的反命题相比，多出了一个连续的条件，就使得该点可微了

注1

在区域D上，若$d[f(x,y)]=0$或$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=0$，则区域内$f(x,y)=C$

注2 判别偏导数连续的方法

1. 用定义法求$f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)$

2. 用公式法求$f_x'(x,y),f_y'(x,y)$

3. 计算$\lim\limits_{\overset{x\to x_0}{y\to y_0}}f_x'(x,y),\lim\limits_{\overset{x\to x_0}{y\to y_0}}f_y'(x,y)$

4. 看该极限值是否趋于用定义法求得的该点偏导数，若成立，则偏导数连续

4. 可微的判别步骤

判别函数在一点是否可微，步骤如下：

1. 写出全增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

2. 写出线性增量$A\Delta x+B\Delta y$

3. 作如下极限

$$\lim\limits_{\overset{\Delta x\to 0}{\Delta y\to 0}}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$$

特别地，当$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$可微时，可以写作如下形式：

$$\lim\limits_{\overset{x\to x_0}{y\to y_0}}\frac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-(\frac{\partial f}{\partial x}x+\frac{\partial f}{\partial y}y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

若该极限等于0，则可微，否则不可微

反过来，若函数在该点可微，则该极限等于0