13.3 多元函数的最值和极值

1. 概念

极值：

若一点存在某个邻域，使得对该邻域内任意一点，恒小于或大于该点，则该点为极值点，该点的值为极值

从几何角度来看，极值点任意方向的切线都平行于xOy面

最值：

定义域内存在一点，若定义域内任意一点，均大于或小于该点，则该点的值为最值

2. 无条件极值

1. 二元函数取极值的必要条件

设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处存在一阶偏导数，且取极值，则$f_x'(x_0,y_0)=0$，$f_y'(x_0,y_0)=0$

该必要条件同样适用于三元及三元及以上函数

提示

偏导数不存在的点同样可能是极值点

因此找可能的极值点时，既要找偏导数全为0的点，也要找不存在偏导数的点

2. 二元函数取极值的充分条件

$$\text{记}\begin{cases} f_{xx}''(x_0,y_0)=A,\\\\ f_{xy}''(x_0,y_0)=B,\\\\ f_{yy}''(x_0,y_0)=C, \end{cases}\text{则}\Delta=AC-B^2\begin{cases} >0\Rightarrow\begin{cases} A<0\Rightarrow\text{极大值，}\\\\ A>0\Rightarrow\text{极小值，} \end{cases}\\\\ <0\Rightarrow\text{非极值,}\\\\ =0\Rightarrow\text{方法失效，另寻他法} \end{cases}$$

提示

结合必要充分条件，找极值点方法如下：

1. 使用必要条件，求出所有可疑点
2. 使用充分条件，依次判别这些可疑点是否为极值点

提示

宇哥提到的开不开心少年团

+就是笑脸，嘴往下弯，极小值

-就是哭脸，嘴往上弯，极大值

X就是说不出话的哑巴猪，非极值

O就是嘴是胡须的老爷爷，方法失效

3. 条件最值与拉格朗日乘数法

大的来了

求目标函数$u=f(x,y,z)$在约束条件$\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0,\\ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}$下的最值，则

1. 构造辅助函数$F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$;

2. 令：

$$\begin{cases} F_x'=f_x'+\lambda\varphi_x'+\mu\psi_x'=0\\\\ F_y'=f_y'+\lambda\varphi_y'+\mu\psi_y'=0\\\\ F_z'=f_z'+\lambda\varphi_z'+\mu\psi_z'=0\\\\ F_\lambda'=\varphi(x,y,z)=0\\\\ F_\mu'=\psi(x,y,z)=0 \end{cases}$$

提示

式子的个数=约束条件数量+目标函数自变量的数量

3. 解上述方程组，得备选点$P_i,i=1,2,\cdots,n$，并求$f(P_i)$，取其最大值为$u_{max}$，最小值为$u_{min}$

4. 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求

提示

若从约束条件$\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0,\\ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}$中易解出$z=z(x,y)$，则将其代入$f(x,y,z)$，得$f[x,y,z(x,y)]$，即转化为无条件最值问题

4. 最远最近点的垂线定理

若$\Gamma$是光滑闭曲线，点Q是$\Gamma$外的一个点，点$P_1,P_2$分别是$\Gamma$上的与点Q的最远点，最近点，则直线$P_1Q,P_2Q$分别在点$P_1$处，$P_2$处与$\Gamma$垂直，即$P_1Q,P_2Q$分别于$P_1,P_2$的切线垂直

晚上补图吧

若光滑闭曲线$\Gamma_1,\Gamma_2$不相交，点$P_1,P_2$分别是它们之间的最远点或最近点，则直线$P_1P_2$是$\Gamma_1,\Gamma_2$的公共垂线，即$P_1P_2$同时垂直于$\Gamma_1,\Gamma_2$在这两点的切线

5. 有界闭区域上连续函数的最值问题

1. 理论依据——最大值与最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，在区域D上一定存在最大值和最小值

2. 求法：

① 根据偏导数为0或不存在，查出区域D内部所有的可疑点

② 用拉格朗日乘数法或代入法求出区域D边界上的所有可疑点

③ 比较以上所有可疑点的函数值大小，取其最小者为最小值，最大者为最大值