15.3 高阶线性微分方程的求解

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1. 二阶常系数齐次线性微分方程

1. 概念

方程$y''+py'+qy=0$称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p,q为常数

2. 解的结构

若$y_1(x),y_2(x)$是$y''+py'+qy=0$的两个解，且其比值不为常数，则称$y_1(x),y_2(x)$是该方程的两个线性无关的解

且$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$是方程$y''+py'+qy=0$的通解

3. 通解

对于$y''+py'+qy=0$，其对应的特征方程为$r^2+pr+q$

使用二次函数求解法可以求得$r_1,r_2$

设$\Delta=p^2-4q$

若$\Delta>0$，则$r_1,r_2$是特征方程的两个不等实根，可得其通解为

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$

若$\Delta=0$，则$r_1,r_2$是两个相等实根，其通解为

$$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$$

若$\Delta<0$，设$\alpha\pm\beta i$是特征方程的一对共轭复根，可得其通解为

$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$$

若能代回原式求得常数的值，则就求得了齐次方程的特解

提示

特征方程的来源是令$y=e^{rx}$

对于共轭复数根，记住$\sqrt{-1}=i$，然后用根的判别式求解

$$r_1,r_2=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$

2. 二阶常系数非齐次线性微分方程

1. 概念

方程$y''+py'+qy=f(x)(f(x)\not\equiv 0)$称为二阶常系数非齐次线性方程，其中p,q为常数，$f(x)$为已知的连续函数，称为自由项

导出方程(对应齐次方程)：令$f(x)=0$

提示

$$y_{\text{非齐通}}=y_{\text{齐通}}+y^*_{\text{非齐特解之一}}$$

其中，非齐特解之一有如下三种求法：

1. 待定系数法
2. 算子法
3. 常数变易法(选，大纲没有)

2. 解的结构

若$y_1^*(x),y_2^*(x)$分别是$y''+py'+qy=f_1(x),y''+py'+qy=f_2(x)$的解

则$y_1^*(x)+y_2^*(x)$是$y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)$的解

可拆性

若$y_1^*(x),y_2^*(x)$均是$y''+py'+qy=f(x)$的特解，则$y_1^*(x)-y_2^*(x)$是对应导出方程的解,这是充要条件

3. 特解——待定系数法

设$P_n(x),P_m(x)$分别为x的n,m次多项式

1. 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{ax}$时，特解要设为$y^*=e^{ax}Q_n(x)x^k$，其中：

$$\begin{cases} e^{ax}\text{照抄}\\\\ P_n(x)\text{写成$Q_n(x)$，即x的未知系数n次多项式}\\\\ \text{一看$\alpha$，二算$r_1,r_2$，三比较：}\\ k=\begin{cases} 0,a\not=r_{1,2}\\ 1,a=r_1\text{或}a=r_2\\ 2,a=r_1=r_2 \end{cases} \end{cases}$$

写出未知系数的特解后，带回原式或用其他方法，求出未知系数即可

2. 当自由项$f(x)=e^{ax}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$时，特解要设为

$$y^*=e^{ax}[Q_1^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_1^{(2)}\sin\beta x]x^k$$

其中：

$$\begin{cases} e^{ax}\text{照抄}\\\\ l=max\{m,n\}\text{，即次数的最大值}\\\\ Q_1^{(1)}(x),Q_1^{(2)}(x)\text{分别为x的两个不同的l次多项式}\\\\ k=\begin{cases} 0,\space r_{1,2}\not=\alpha\pm\beta i\\ 1,\space r_{1,2}=\alpha\pm\beta i \end{cases} \end{cases}$$

4. 特解——微分算子法

约定：$D=\frac{d}{dx},Dy=\frac{dy}{dx},D^2=\frac{d^2}{dx^2},D^2y=\frac{d^2y}{dx^2}$

于是微分方程$y''+py'+qy=f(x)$可以写成$(D^2+pD+q)y=f(x)$

记$D^2+pD+q=F(D)$，称为算子多项式，其满足普通多项式的运算规则

此时，上述微分方程的一个特解为

$y^*=\frac{1}{F(D)}f(x)$

约定$Df(x)$表示对$f(x)$求导，$\frac 1Df(x)$表示对$f(x)$积分

$\frac{1}{F(D)}e^{ax}$

若$F(D)|_{D=\alpha}\not=0$，有$y^*=\frac{1}{\left.F(D)\right|_{D=\alpha}}e^{ax}$

若$F(D)|_{D=\alpha}=0$，而$F'(D)|_{D=\alpha}\not=0$有$y^*=\color{red}{x}\frac{1}{\left.F(D)\right|_{D=\alpha}}e^{ax}$

提示

若求导后还是0，就多求几次导

求了几次导，红色部分就要补几次x

$\frac{1}{D^2+q}\cos\beta x/\frac{1}{D^2+q}\sin\beta x$

若$(D^2+q)|_{D=\beta i}\not=0$，有

$$y^*=\frac{1}{(D^2+q)|_{D=\beta i}}\cos\beta x,\space y^*=\frac{1}{(D^2+q)|_{D=\beta i}}\sin\beta x$$

若$(D^2+q)|_{D=\beta i}=0$，有

$$y^*=x\frac{1}{(D^2+q)'}\cos\beta x,\space y^*=x\frac{1}{(D^2+q)'}\sin\beta x$$

$\frac{1}{F(D)}\cos\beta x/\frac{1}{F(D)}\sin\beta x$

若$F(D)=D^2+pD+q$，则取

$$F(D)|_{D^2=(\beta i)^2}=(pD)+(q-\beta^2) \text{(只令$D^2=(\beta i)^2$，不动D)}$$

$$y^*=\left.\frac{1}{F(D)}\right|_{D^2=(\beta i)^2}·\cos\beta x$$

然后分子分母同乘共轭数

$\frac{1}{F(D)}P_n(x)$

$P_n(x)$是x的n次多项式

$$y^*=\frac{1}{F(D)}P_n(x)=Q_k(D)·P_n(x)$$

这里的$Q_k(D)$是将$\frac{1}{F(D)}$展开为k次泰勒多项式，常用$\frac{1}{1-x}$的泰勒展开

x的多项式有几次，D就展开到几次

$\frac{1}{F(D)}e^{ax}v(x)$

$$y^*=\frac{1}{F(D)}e^{\color{red}\alpha x}v(x)=e^{\color{red}\alpha x}·\frac{1}{F(D+\color{red}\alpha)}v(x)$$

然后，对于$\frac{1}{F(D+\color{red}\alpha)}v(x)$的部分，参考上述形式进行求解即可

5. 通解

若$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$是$y''+py'+qy=0$的通解，

$y^*$是$y''+py'+qy=f(x)$的一个特解，

则$y(x)+y^*(x)$是$y''+py'+qy=f(x)$的通解

换句话说就是非齐通=齐通+非齐特

3. 高阶常系数齐次线性微分方程

高阶一般指3阶及以上，但一般只有3阶

高阶没有非齐次方程的题，太麻烦了不会出

若r为单实根，则对应的通解为$Ce^{rx}$

若r为k重实根，写

$$C_1+C_2x+C_3x^2+\cdots+C_kx^{k-1}e^{rx}$$

若r为单复根$\alpha\pm\beta i$，写

$$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$$

若r为二重复根$\alpha\pm\beta i$，写

$$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x+C_3x\cos\beta x+C_4x\sin\beta x)$$

提示

若解中含有特解$e^{rx}$，则r至少为单实根

若解中含有特解$x^{k-1}e^{rx}$，则r至少为k重实根

若解中含有特解$e^{\alpha x}\cos\beta x$(或sin)，则$\alpha\pm\beta x$至少为单复根

若解中含有特解$e^{\alpha x}x\cos\beta x$(或sin)，则$\alpha\pm\beta x$至少为二重复根

4. 欧拉方程

$$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$$

形如上式，或能写成上式的微分方程称为欧拉方程

解法：

令$x=e^t，t=\ln x,\frac{dt}{dx}=\frac 1x$

方程可化为

$$\frac{d^2y}{dx^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)$$

警告

最后别忘了用$t=\ln x$回代