17.2 空间平面与直线

1. 平面方程

设平面的法向量$\vec n=(A,B,C)$

一般式：$Ax+By+Cz+D=0$

点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

三点式：$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\\\ x-x_2 & y-y_2 & z-z_2 \\\\ x-x_3 & y-y_3 & z-z_3 \\\\ \end{vmatrix}=0$

截距式：$\frac xa+\frac yb +\frac zc=1$(墙角三点)

平面束方程：条件：直线由一般式方程表示

则任何一个过该直线的平面均可以表示为：

$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

两个平面不用都写未知系数，难算，设一个就好了

2. 直线方程

均假设直线的方向向量$\tau=(l,m,n)$

一般式： $\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)\\\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2) \end{cases}$

其中，$\tau=\vec{n_1}+\vec{n_2}$

点向式：$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

特别地，点向式方程允许分母为0(因为此时分子也为0)

参数式：点向式方程中令式子=t即可得到

$$\begin{cases} x=x_0+lt\\\\ y=y_0+mt\\\\ z=z_0+nt \end{cases}$$

其中，$P_0(x_0,y_0,z_0)$为直线上的已知点,t为参数

3. 直线与平面的位置关系

1. 点到平面的距离

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$