17.3 空间曲线与曲面

1. 空间曲线

一般式：$\Gamma=\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$

几何背景为两个曲面的交线

参数方程：$\Gamma=\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\\ z=\omega(t) \end{cases},t∈[\alpha,\beta]$

一般式转换参数方程的方法

1. 直接解
2. 特征换元
3. 题干直接给出

1.1 在坐标面上的投影

核心：往谁投，消孤儿

若曲线$\Gamma=\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$往xOy面投影，则将z消去，得到的曲线类似$\Gamma=\begin{cases} \varphi(x,y)=0,\\ z=0 \end{cases}$

2. 空间曲面

见30讲P345

2.1 旋转曲面

解法：三个条件：

设$M_0(x_0,y_0,z_0)$位于围绕直线上，$M_1(x_1,y_1,z_1)$位于曲线上，$P(x,y,z)$位于待求曲面上

$$\begin{cases} \vec{M_1P}⊥\vec{\tau}\\ |\vec{M_1M_0}|=|\vec{M_0P}|\\\\ \begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0 \end{cases} \end{cases}$$

特别地，若是曲线围绕z轴转的情况，则有：

$$\begin{cases} x^2+y^2=x_1^2+y_1^2\\ \begin{cases} F(x_1,y_1,z)=0,\\ G(x_1,y_1,z)=0 \end{cases} \end{cases}$$