17.5 场论初步

1. 方向导数

定义法

$$\lim_{t\to0^+}\frac{u(P)-u(P_0)}{t}=\lim_{t\to0^+}\frac{u(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$$

其中，$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$为方向t的方向余弦(单位向量)

公式法：

1. 求方向的单位向量
2. 求三个偏导数
3. 三个偏导数与三个单位向量相乘，再依次相加

2. 梯度

$$\left.\vec{grad}u\right|_{P_0}=(u_x'(P_0),u_y'(P_0),u_z'(P_0))$$

为函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0$处的梯度

梯度的四则运算符合导数的四则运算

函数在某点的梯度的模是该点方向导数的最大值

3. 散度

一点发散/汇入的强弱程度，有方向

定义向量场$\vec{A}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$

$$div \vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

4. 旋度

描述一点旋转的强弱，有方向

$$rot\vec{A}=\begin{vmatrix} i & j & k \\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\\\ P & Q & R \end{vmatrix}$$