9.1 不定积分的积分法

1. 凑微分法

提示

前置：

$$(u)'dx=du$$

也就是说，d里面的东西提出去要求导，东西提进d要积分

但是d里面可以肆意妄为加常数

$$\int f[g(x)]g'(x)dx=\int f[g(x)]d[g(x)]=\int f(u)du$$

例子：

$$\int\frac{\ln^5x}{x}dx=\int\ln^5x·\frac 1xdx=\int\ln^5xd(\ln x)=\frac{\ln^6x}{6}+C$$

哪个复杂就让哪个尝试做u

2. 换元法

基本思想：

$$\int f(x)dx \space\space\underrightarrow{x=g(u)}\int f[g(u)]d[g(u)]=\int f[g(u)]g'(u)dx$$

通常用于f(x)比较复杂，引入新的自变量u，使得原定积分可以按照一定特殊规则简化

提示

$x=g(u)$需要是单调可导函数，因为最后要用反函数的性质回代

提示

凑微分法和换元法其实可以统称为换元法

1. 三角换元法

当被积函数含有如下根式时，可以作三角函数代换，其中a>0

$$\begin{cases} \sqrt{a^2-x^2}\rightarrow\text{令}x=a\sin t,|t|<\frac π2\\\\ \sqrt{a^2+x^2}\rightarrow\text{令}x=a\tan t,|t|<\frac π2\\\\ \sqrt{x^2-a^2}\rightarrow\text{令}x=a\sec t\begin{cases} \text{若$x>0$，则$0<t<\frac π2$}\\ \text{若$x<0$，则$\frac π2<t<π$} \end{cases} \end{cases}$$

当被积函数含有根式$\sqrt{ax^2+bx+c}$时，可以先按照狗公式化为上述的类型，再作三角函数转化

2. 根式代换

当被积函数含有较复杂根式，例如$\sqrt[n]{ax+b}$,$\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$等，可以直接令$t=\sqrt{*}$

如果有多个根号的不同次根，取最大公倍数

3. 倒代换

当被积分母的幂次比分子高两次及以上时，作倒代换，令$x=\frac 1t$

4. 复杂函数的直接代换

当被积函数中含有$a^x,e^x,\ln x$等时，考虑直接令复杂函数=t

需要注意的是，当$\ln x,\arcsin x,\arctan x$与$P_n(x)$或$e^{ax}$作乘法时，优先考虑分部积分法

其中$P_n(x)$为x的n次多项式

3. 分部积分法

$$\int udv=uv-\int vdu$$

u简单，v复杂就能用

好积分的函数适合取做v，好求导的函数适合取作u

$$\text{反 对 幂 指 三}$$

从右到左依次更适合做u，反过来更适合做v

1. 分部积分法的推广

$$\int uv^{(4)}dx=uv^{(3)}-u'v''+u''v'-u^{(3)}v+\int u^{(4)}vdx$$

可以写成如下表格：

u的各阶导数	$\color{red}u_+$	$\color{blue}u'_-$	$\color{red}u''_+$	$\color{blue}u^{(3)}_-$	$\color{purple}u^{(4)}_+$
v的各阶原函数	$v^{(4)}$	$\color{red}v^{(3)}$	$\color{blue}v''$	$\color{red}v'$	$\color{blue}v$

提示

计算方法：从左上角开始，斜向同色相乘，红色加，蓝色减，直到最后一项，最后一列相乘，上一个加就是减，上一个减就是加

不定积分的计算方法总结

1. 恒等变形
2. 换元法
3. 分部积分法

提示

分部积分法可能建立所求积分的方程，即$I=f(x)-I$

也可以用于制造相反项，例如$I=f(x)-I_1+I_1$

也可以制造递推式，例如$I_n=F(I_{n-1},I_{n-2})$

参考课本例题P165 9.5、P166 9.7

2. 行列式计算e^x乘三角函数的积分

$$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{\begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\sin bx)' \\\\ e^{ax} & \sin bx \end{vmatrix}}{a^2+b^2}+C=\frac{ae^{ax}\sin bx-be^{ax}\cos bx}{a^2+b^2}+C$$

$$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{\begin{vmatrix} (e^{ax})' & (\cos bx)' \\\\ e^{ax} & \cos bx \end{vmatrix}}{a^2+b^2}+C=\frac{ae^{ax}\cos bx+be^{ax}\sin bx}{a^2+b^2}+C$$

4. 有理函数的积分

1. 定义

形如$\int\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}(n<m)$的积分统称为有理函数的积分

当$n\geq m$时，称为假分式，因为其可以化成多项式+真分式的形式

若$Q_m(x)$在实数域内可因式分解，则因式分解后再把$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$拆成若干项最简有理分式之和

2. 方法

以下均针对$Q_m(x)$

• 一次单因式$ax+b$产生一项$\frac{A}{ax+b}$

• k重一次因式$(ax+b)^k$产生k项，分别为$\frac{A_1}{ax+b},\frac{A_2}{(ax+b)^2},\cdots\frac{A_k}{(ax+b)^k}$

• 二次单因式$px^2qx+r$产生一项$\frac{Ax+b}{px^2+qx+r}$

• k重二次因式$(px^2qx+r)^k$产生k项，分别为...参考上面就好了懒得打了:)

所有条件：$k>0,k\not=1$

提示

通过这种方法，可以定位待求多项式的系数

一般可以直接代值来确认系数

例如$4x^2-6x-1=(4A+2B)x^2+(-4A+B+C)x+(A-B+C)$

直接将x赋值代入即可依次求出结果

3. 三角函数的有理函数(理论上的万能函数)

含有$sinx,cosx$的若干次多项式想要积分，这里称为$R(\sin x,\cos x)$

令$t=\tan\frac x2$，则

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

则有

$$\int R(\sin x,\cos x)=R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt$$

如果有奇数次项的话，哪个是奇数次就拿哪个到d里面，方便算

如果都是奇数次，就拿tanx

5. 总结——如何思考不定积分

$$\begin{cases} 1. \text{恒等变形}\\\\ 2. \text{凑微分、换元法}\begin{cases} \int h(x)dx=\int f[g(x)]·g'(x)dx\overset{g(x)=u}{\Longrightarrow}f(u)du\\\\ \int f(x)dx\overset{x=g(t)}{\Longrightarrow}\int f[g(t)]·g'(t)dt=\int h(t)dt \end{cases}\\\\ 3. \int udv=dv-\int vdu \end{cases}$$

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