9.3 变限积分的计算

1. 求导公式

设$F(x)=\int_{φ_1(x)}^{φ_2(x)}f(t)dt$，其中f(x)在$[a,b]$上连续，可导函数$φ_1(x)$和$φ_2(x)$的值域在$[a,b]$上，则在函数$φ_1(x)$和$φ_2(x)$的公共定义域上，有：

$$F'(x)=\frac{d}{dx}\left[\int_{φ_1(x)}^{φ_2(x)}f(t)dt\right]=f[φ_2(x)]φ_2'(x)-f[φ_1(x)]φ_1'(x)$$

省流：代上限·上限求导-代下限·下限求导

先前有$(\int_a^x f(t)dt)'=f(x)$，这实际上就是上述公式的一种特殊情况(上限为x，下限为常数)

提示

x为求导变量，t为积分变量

只有当被积函数$f(t)$只含积分变量时，才能使用该求导公式，若被积函数含有被积变量，例如$f(x,t)$的形式，则需要通过恒等变形使被积变量移出被积函数，才能使用该变限积分求导公式

但是，如果被积函数是类似于$g(x)f(t)$的形式，则可以直接将$g(x)$提到积分号前面！！！就相当于乘积的导数了，前导后不导加前不导后导

如$f(xt)$，则令$u=xt$

当换元时，把x当做常数看；在求导时，把x当做变量看

提示

重要例题：9.21

涉及到变限积分中绝对值的计算

2. 重要结论

提示

连续就有原函数，可积只能说变限积分

两者需要区分开

也就是说，举个例子，连续奇函数的全体原函数都是偶函数，但是可积奇函数只能说它的变限积分是偶函数

$$\begin{cases} f(x)\text{奇}\Rightarrow\begin{cases} f'(x)&\text{偶}\\\\ \int_a^xf(t)dt&\text{偶(任意a)} \end{cases}\\\\ f(x)\text{偶}\Rightarrow\begin{cases} f'(x)&\text{奇}\\\\ \int_0^xf(t)dt&\text{奇}\\\\ \int_a^xf(t)dt&\text{奇($\int_a^xf(t)dt=\int_0^xf(t)dt$)} \end{cases}\\\\ f(x)\text{ T}\Rightarrow\begin{cases} f'(x) &\text{T}\\\\ \int_0^Tf(x)dx=0\Leftrightarrow \int_a^xf(t)dt&\text{T(增加其中一个条件可以互推)} \end{cases} \end{cases}$$

提示

若$f(x)$为连续的，以T为周期的周期函数，

则$\int_a^xf(t)dt=\int_a^0f(t)dt+\int_0^xf(t)dt$亦是以T为周期的周期函数

3. 常数变量化

欲证明形如$\int_a^bf(x)dx$的证明题，可设变限积分$\int_a^xf(t)dt$，使b变为常量，更好计算