9.2 定积分的计算

1. 牛顿-莱布尼兹公式

$$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$$

前提：f(x)连续，F(x)是f(x)的原函数

N-L公式的证明

$$\begin{aligned} & \text{记}G(x)=\int_a^xf(t)dt,a\leq x\leq b\\\\ & G(b)=\int_a^bf(x)dx,G(a)=0\\\\ & \text{又}F'(x)=f(x),\text{且}G(x)=F(x)+C\\\\ & \text{于是}\int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a)=F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a) \end{aligned}$$

提示

$$f_{\text{平均值}}=\frac{\int^b_af(x)dx}{b-a}=f(\xi)$$

$f_{\text{平均值}}$详见第十章

这里联系了积分中值定理和平均值的定义

提示

N-L公式与不定积分的定义完全不同

定积分只是可以在计算上和不定积分联系起来

N-L公式推广

1. 若$f(x)$不连续但仍在闭区间上有原函数(类似振荡间断点)，

则同样有$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$的结论

只要有原函数，就能用

2. 若$f(x)$在$[a,b]$分段上有原函数，则需要分别求定积分的值，即

$$\begin{aligned} \int_a^bf(x)dx&=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\\\\ &=F_1(c-0)-F_1(a)+F_2(b)-F_2(c+0) \end{aligned}$$

若$F_1(c-0),F_2(c+0)$均存在，则$\int_a^bf(x)dx$收敛

若至少一个不存在，则$\int_a^bf(x)dx$发散

这里的思想是用极限值来替代函数值

2. 定积分的换元积分法

警告

换元要三换：函数、积分对象、上下限

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，函数$x=φ(t)$满足① $φ(\alpha)=a,φ(\beta)=b$，②$x=φ(t)$在$[\alpha,\beta]$上有连续的导数，且其值域为$R_φ=[a,b]$，则有：

$$\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f[φ(t)]φ'(t)dt$$

提示

常考：令$x=\frac π2\pm t$、$x=π\pm t$

当$φ(t)$的值域超出$[a,b]$，但满足其余条件时，只要$f(x)$在$R_φ$上连续，上述结论依然成立

3. 定积分的分部积分法

$$\int_a^bu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^bv(x)u'(x)dx$$

提示

换元积分法影响上下限，但是分部积分法不影响上下限

有时候可以通过题干中积分区间是否改变来确认该不该用某种方法

常用结论

1. 若$f(x)$为连续的偶函数，则

$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$

2. 若$f(x)$为连续的奇函数，则

$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$

3. 若$f(x)$是以T为周期的连续函数，则对任意实数a，都有

$$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$$

即，在长度为一个周期的区间上的定积分，与该区间的起点位置无关

证明见课本9.16

区间再现公式

设$f(x)$为连续函数，则有

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$

提示

注意dx不变

区间再现公式常用于$f(x)$较复杂，但是$f(x)+f(a+b-x)$较简单，或是能建立关于原积分的方程

华里士公式(点火公式)

提示

点火成功要加$\frac π2$

$$\begin{aligned} &(\frac π2)\int_0^{\frac π2}\sin^nx=\int_0^{\frac π2}\cos^nxdx=\begin{cases} \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·\cdots·\frac 23·1, &\text{n为大于1的奇数(点火失败)}\\\\ \frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·\cdots·\frac 12·\frac π2, &\text{n为正偶数(点火成功)} \end{cases}\\\\ &(π)\int_0^π\sin^nxdx=\begin{cases} 2·\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·\cdots·\frac 23·1, &\text{n为大于1的奇数(点火失败)}\\\\ 2·\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·\cdots·\frac 12·\frac π2, &\text{n为正偶数(点火成功)} \end{cases}\\\\ &(π)\int_0^π\cos^nxdx=\begin{cases} 0, &\text{n为正奇数(点火失败)}\\\\ 2·\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·\cdots·\frac 12·\frac π2, &\text{n为正偶数(点火成功)} \end{cases}\\\\ &(2π)\int_0^{2π}\cos^nxdx=\int_0^{2π}\sin^nxdx\begin{cases} 0, &\text{n为正奇数(点火失败)}\\\\ 4·\frac{n-1}{n}·\frac{n-3}{n-2}·\cdots·\frac 12·\frac π2, &\text{n为正偶数(点火成功)} \end{cases} \end{aligned}$$

特殊结论

$$\int_0^πxf(\sin x)dx=\frac{π}{2}\int_0^πf(\sin x)dx$$

这个可以直接用，方便直接转换为可以直接使用点火公式的样子！

这个结论是用区间再现公式证明的

4. 根式代换

若出现$\sqrt{px^2+1}$等格式时，可以考虑两条路线：

没有一次项，可以考虑三角函数代换

有一次项，可以考虑化成$\sqrt{\text{狗}^2+a^2}$的形式(没有根式也能这么化)，然后按照基本积分公式

做三角函数时要注意绝对值的处理，不要自找麻烦(尽量化为区间内恒正的三角函数，方便去掉绝对值)

5. 提区间

若要求$[c,d]$区间内的积分，但是给出的是$[a,b]$(或其他情况?)，可以参考如下方法

$$\int_a^b=\int_a^c+\int_c^d+\int_d^b$$

6. 变限积分和原函数的结合

变限积分难以求原函数的形态

因此，遇到$\int_0^1f(x)dx$类似的形式时(f(x)为变限积分)，就用分部积分法，将$f(x)$提出来，就可以把f(x)的原函数分解为$f(x)$和$f'(x)$的形式了，这两个都好求

可积不可求积的函数

P252

这些函数都需要用交换积分次序的方式来写(或者分部积分法？)