9.4 反常积分的计算

提示

在计算反常积分时，要注意识别奇点(端点、内部)

反常积分的计算一般是在收敛条件下进行

1. 常用方法

• 通过换元法实现反常积分与定积分的相互转换
• 以间断点为分界线进行区间切割，分别进行积分

2. Γ函数

$\Gamma$函数的定义如下：

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\overset{x=t^2}{==}2\int_0^{+\infty}t^{2\alpha-1}e^{-t^2}dt$$

上式根据e的次数决定用哪边

直接用以下结论即可

有递推式：$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$

其中$\Gamma(1)=1,\Gamma(\frac 12)=\sqrt{π}$

$\Gamma(n+1)=n!$

提示

尽管默认$\alpha$是正数

但当讨论$\alpha$的定义域时，要注意考虑负数的情况，需要分瑕点研究

当$\alpha>0$时，$\Gamma$函数收敛