1.2 函数的图像

基本初等函数与初等函数

1. 常数函数

$y=A$，A为常数，其图形为平行于x轴的水平直线

偶函数

易考"找交点个数"或在概率论中求概率$P\{g(X)\leq y\}$

2. 幂函数

$y=x^μ$

其定义域与值域取决于$μ$的值，当$x>0$时，$y=x^μ$都有定义

常用的幂函数：

提示

当$x>0$时，由$y=x,\space y=\sqrt{x}, \space y=\sqrt[3]{x}, \space y=lnx$具有相同的单调性，与$y=\frac{1}{x}$具有相反的单调性，故：

1. 见到$\sqrt{u}\text{、 }\sqrt[3]{u}$时，可用$u$来研究最值

2. ※ 见到$|u|$时，由$|u|=\sqrt{u^2}$，可用$u^2$来研究最值

3. ※ 见到$u_1u_2u_3$时，可用$ln(u_1u_2u_3)=lnu_1+lnu_2+lnu_3$来研究最值

4. 见到$\frac{1}{u}$时，可用u来研究最值(结论相反)

3. 指数函数

$y=a^x(a>0,a\not=1)$

定义域：$(-\infty, +\infty)$，值域：$(0,+\infty)$

单调性：当$a>1$时，$y=a^x$单调增加；当$0<a<1$时，$y=a^x$单调减少

常用的指数函数：$y=e^x$

极限：

$$\lim_{x \to -\infty} e^x=0, \lim_{x \to \infty} e^x=+\infty$$

但是

$$\lim_{x \to \infty} e^x \text{不存在}$$

提示

函数极限具有唯一性

只要有多个极限答案，就填不存在

特殊函数值：$a^0=1, e^0=1$

指数运算法则：

$$a^\alpha·a^\beta=a^{\alpha+\beta}, \frac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\beta},(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta},(ab)^\alpha=a^\alpha·b^\alpha,(\frac{a}{b})^\alpha=\frac{a^\alpha}{b^\alpha}$$

如：$e^{tanx}-e^{sinx}=e^{sinx}(e^{tanx-sinx}-1)$

4. 对数函数

$y=log_ax(a>0,a\not=1)$，是$y=a^x$的反函数

当$a=e$时，称为自然对数($lnx$)

定义域：$(0, +\infty)$，值域：$(-\infty,+\infty)$

单调性：当$a>1$时，单增；当$0<a<1$时，单减

常用的对数函数：$y=lnx$($e=2.718...$)

特殊函数值：$log_a1=0$，$log_aa=1\text{，}ln1=0\text{，}lne=1$

极限：

$$\lim_{x \to 0^+} lnx=-\infty\text{，} \lim_{x \to +\infty} lnx= +\infty$$

统一化思想 技巧

$$ln(e+\frac{1}{x})-1=ln(e+\frac{1}{x})-lne=ln(1+\frac{1}{ex})$$

常用公式

$$x=e^{lnx}(x>0)\text{，}u^v=e^{lnu^v}=e^{vlnu}$$

对数运算法则

$log_a(MN)=log_aM+log_aN$

$log_a\frac{M}{N}=log_aM-log_aN$

$log_aM^n=nlog_aM$

$log_a{\sqrt[n]{M}}=\frac{1}{n}log_aM$

常考：当$x>0$时：

$$ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}lnx\text{；}ln\frac{1}{x}=-lnx\text{；}ln(1+\frac{1}{x})=ln\frac{x+1}{x}=ln(x+1)-lnx$$

5. 三角函数

①. 正弦函数与余弦函数

正弦函数$y=sinx$，余弦函数$y=cosx$

关于图像面积

"一拱"的面积为2 把一拱分为四等分时，外侧两半面积为$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$，内测两半面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$

定义域：$(-\infty,+\infty)$

值域：$[1-,1]$

奇偶性、周期性($2π$为最小正周期)

有界性：$|sinx|\leq 1, |cosx|\leq 1$

注意当$x\to 0^+$时，$sinx<x$

特殊函数值：(不用说了吧)

特殊值：$sin^2a+cos^2a=1$

②. 正切函数与余弦函数

正切函数：$y=tanx=\frac{sinx}{cosx}$，余切函数$y=cotx=\frac{1}{tanx}$

函数	$y=tanx$	$y=cotx$
定义域	$\{x|x|\not=kπ+\frac{π}{2}\}$	$\{x|x|\not=kπ\}$
值域	$(-\infty,+\infty)$	$(-\infty,+\infty)$
奇偶性	奇函数	奇函数
最小正周期	$π$	$π$

③. 正割函数与余割函数

正割函数：$y=secx=\frac{1}{cox}$，余割函数$y=cscx=\frac{1}{sinx}$

巧记

$secx$以s开头，是另一个$cosx$的倒数

$cscx$以c开头，是另一个$sinx$的倒数

函数	$y=secx$	$y=cscx$
定义域	$\{x|x|\not=kπ+\frac{π}{2}\}$	$\{x|x|\not=kπ\}$
值域	$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$	$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
奇偶性	偶函数	奇函数
最小正周期	$2π$	$2π$

特殊公式

$$\text{※ }1+tan^2a=sec^2a\text{；}1+cot^2a=csc^2a$$

6. 反三角函数

①. 反正弦函数与反余弦函数

反正弦函数$y=arcsinx$，反余弦函数$y=arccosx$

$y=arcsinx$是$y=sinx(-\frac{π}{2}\leq x\leq\frac{π}{2})$的反函数

$y=arccosx$是$y=cosx(0\leq x \leq π)$的反函数

主值区间(值域)：

$y=arcsinx$的主值区间为$[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]$

$y=arccosx$的主值区间为$[0,π]$

反三角函数的恒等式：

②.反正切函数与反余切函数

反正切函数$y=\arctan x$，反余切函数$y=arccotx$

arctanx单增，arccotx单减

定义域：$(-\infty, +\infty)$

值域：$y=\arctan x$ 的值域为 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, $y=arccotx$的值域为$(0,\pi)$

单调性：$y=arctanx$单增，$y=arccotx$单减

奇偶性：$y=arctanx$为奇函数(在其定义域内)

有界性：两个函数在其定义域内均有界

性质：$arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2}$

※ 特殊函数值：

$x$	$arctanx$	$arccotx$
0	0	$\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{3}$
1	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{4}$
$\sqrt{3}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{6}$

极限：略

7.初等函数

由以上基本初等函数经过有限次的四则运算，以及有限次的复合步骤后所构成的，并且可以由一个式子所表示的函数，称为初等函数

初等函数的定义域可以是一个区间，也可以是几个区间的并集，甚至可以是几个孤立的点...

幂指函数$u(x)^{v(x)}$也是初等函数，当$x>0$时，$f(x)=x^x=e^{xlnx}$是初等函数

注意这个式子！！之后会经常用到！！

分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数

分段函数不是初等函数，因为它是由多个式子所构成的

分段函数的典型形式如下：

$$f(x)=\begin{cases} φ_1(x), &x>x_0 \\\\ a, &x=x_0 \\\\ φ_2(x),&x<x_0 \end{cases}$$

下面列出三个比较重要的分段函数：

① $y=|x|=\begin{cases} x, &x>0 \\\\ -x, &x<0 \end{cases}$ 称为绝对值函数

② $y=sgnx=\begin{cases} 1, &x>0\\\\ 0, &x=0\\\\ -1, &x<0 \end{cases}$ 称为符号函数。对于任意实数$x$，有$x=|x|sgnx$

③ $y=[x]$称为取整函数

定义：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分

即：$x-1 < [x] \leq x$

注意负数的取整

取整函数的定义域为R，值域为Z

特别地，有：

① $[x+n] = [x] + n$

② $\lim_{x \to 0^+}[x] = 0$；$\lim_{x \to 0^-}[x] = -1$