1.5 函数的间断点与连续

TQ大约 2 分钟

1. 连续点的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域(就是点 $x_0$ 的附近)有定义，且有 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续

需要讨论左右极限时，用如下结论：

\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)\Leftrightarrow f(x)\text{在点}x_0\text{处连续}

连续运算法则：

f(x)和g(x)都在 $x_0$ 处连续，则他们的加减乘除都连续(分母不能为0)

复合函数内外都连续，则复合函数整体连续

反函数与直接函数具有相同的连续性

保号性：设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，且 $f(x_0)>0$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时， $f(x)>0$

就是说， $f(x)$ 在这个间断点的左右都有相同的极限值，同时这个间断点本身不等于其左右极限值，或者甚至没有定义，那么称这个间断点为可去间断点

提示

只要修改补充这个点的定义等于左右两侧的极限值，就可以使其在 $x_0$ 处连续，所以也称为可补间断点

$x_0$ 处的左右极限都存在，但是它们不相等，那么就称这个点为跳跃间断点

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点

按此定义，跳跃间断点与 $f(x_0)$ 的值无关

如果点 $x_0$ 处至少有一边的极限趋向无穷，那么就称 $x=x_0$ 为无穷间断点

如果 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在，但是不为无穷大，那么称这个点为振荡间断点。

举个例子就是 $y=sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义，也不为无穷大，在 $x\to 0$ 时，函数在-1与1这两个数之间交替振荡取值，极限不存在，所以是振荡间断点

无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点