1.3 函数极限的概念与性质

1. 邻域

$\delta$领域，设$x_0$是数轴上一个点，$\delta$是某一正数，则称$(x_0-\delta, x_0+\delta)$为$x_0$的$\delta$邻域

这个$\delta$应该是可以无限趋近于0的

去心$\delta$邻域：就是不取$x_0$的邻域U

还有左$\delta$邻域以及右$\delta$邻域，就是数轴的左边和右边

2. 函数极限的定义

很重要！直接记住这一条：

$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A\iff \forall \epsilon >0, \exist \delta >0 ,\text{当}0<|x-x_0|<\delta\text{时，有}|f(x)-A|<\epsilon$$

标准极限定义：

对于$f(x)$，有四列：$f(x)\to A, f(x)\to \infty , f(x)\to +\infty, f(x)\to -\infty$

其影响后半句

对于x，有六行：$x\to x_0, x\to x_0^+,x\to x_0^-, x \to \infty, x \to +\infty, x\to -\infty$

其影响前半句

总之要背熟！

提示

如果$\lim f(x)$与$\lim u(x)$存在，且有$f(x)=u(x)$

那么有$\lim f(x)=\lim u(x)$

3. 函数极限的性质

1. 唯一性

如果极限$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，那么极限唯一

函数极限存在的充要条件：

$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A\iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=A\text{且}\lim_{x \to x_0^+}f(x)=A$$

$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha(x), \lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$$

对于唯一性的说明：

① 对于$x\to \infty$，意味着$x\to +\infty \text{且} x \to -\infty$;

② 对于$x\to x_0$，意味着$x\to x_0^+\text{且}x\to x_0^-$

也就是说，如果两边极限趋向不同的值，则不能说极限存在，例如$lim_{x \to \infty}e^x$就不存在

2. 局部有界性

如果函数的极限存在(不为无穷大)，则存在正常数M，当$x_0$趋向于极限点时，有$|f(x)<M$(大概意思)

注意，极限存在只是函数局部有界的充分条件，但不是必要条件

反例：$y=sinx$在任意区间上有界，但当$x\to \infty$时，极限不存在

如果$y=f(x)$在闭区间上为连续函数，则其必定有界(太简单了一般不会考)

如果$y=f(x)$在开区间上连续，且两端极限存在，则其必定有界(重要)(不能是无穷大)

有界函数与有界函数的和差积仍然为有界函数

3. 局部保号性 ※※※

极限大于0，则函数大于0

函数大于等于0，则极限也大于等于0

小于也是一样

用公式来简单表示

$\lim f>0 \rightarrow f>0$

$\lim f<0 \rightarrow f<0$

(脱帽严格不等)

$f\geq 0 \rightarrow \lim f \geq 0$

$f\leq 0 \rightarrow \lim f \leq 0$

(戴帽非严格不等)

定义不能倒过来

例如极限等于0时，函数不一定等于0

4. 无穷小的定义

提示

0是最高阶的无穷小、唯一一个常数无穷小

如果当$x\to x_0$时，函数f(x)的极限为0，那么称$f(x)$为当$x\to x_0$时的无穷小

包括：1. 本身就是0→是一个常数 2. 本身不是0，是一个趋近于0的极限过程

记为：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=0(\text{或}\lim_{x\to \infty}f(x)=0)$$

脱帽法

$$\lim_{x\to ·}f(x)=A\leftrightarrow f(x)=A+\alpha$$

上方的$\alpha$为$x\to ·$时的无穷小

5. 无穷小的性质

1. 有限个无穷小的和是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
3. 有限个无穷小的乘积是无穷小

如果把上述描述换为无限

1. 不一定是无穷小，后面无穷级数会提到
2. 无界函数与无穷小的乘积不一定是无穷小，例如$\frac{1}{x}$与$x$的乘积为常数
3. 不一定是无穷小

6. 无穷小的比阶

对于两个无穷小$lima(x)$和$limb(x)$，有：

1. 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$，则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的高阶无穷小，记为$\alpha(x)=o(\beta(x))$(分子趋近于0的速度更快)

2. 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$，则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的低阶无穷小(分母趋近于0的速度更快)

3. 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c\not=0$，则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的同阶无穷小(趋近于0的速度相同)

4. 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$，则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的等价无穷小

5. 若$\lim\frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=c\not=0,k>0$，则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$的k阶无穷小

并不是任意两个无穷小都可以进行比阶

有时候比阶会出现无界变量，需要小心

提示

由无穷小的比阶可得

假设$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}< (\text{或}>)0$，则分子分母为同阶无穷小

也就是说，$\lim f(x)=0$

7. 常用的等价无穷小

详见这里

注意

使用时一般要做广义化：可将x替换为趋近于0的函数

提示

若加减法要替换等价无穷小时，需要其比值为常量且满足条件

例如：$lim (a+b)$若要单独对a或b使用等价无穷小替换，需要满足$lim\frac ab$存在且$lim\frac ab\not=-1$

$lim (a-b)$要满足的条件是$lim\frac ab$存在且$lim\frac ab\not=1$

8. 无穷大的定义

如果当$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时，函数$|f(x)|$无限增大，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$(或$x\to \infty$)的无穷大，记为：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$$

备注

无穷大和无穷小一样，也是一个极限过程，是一个"超实数"

无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大量