1.4 函数极限的计算

TQ大约 5 分钟

1. 方法

1. 极限四则运算法则

省流：若两个函数的极限分别存在，则这两个极限的加减乘除的极限等于这两个极限的加减乘除

关于极限不存在时的运算规则

若 $\lim f(x)$ 存在， $\lim g(x)$ 不存在，则 $\lim [f(x)\pm g(x)]$ 一定不存在

只有一个不存在，则整体不存在

若 $\lim f(x)$ 不存在， $\lim g(x)$ 也不存在，则 $\lim [f(x)\pm g(x)]$ 不一定不存在

例子： $\lim_{x\to 0}[sin\frac{1}{x}+(-sin\frac{1}{x})]$ 整体存在，但两个单独的极限拉出来不存在

若 $\lim f(x)=A\not=0$ ，则 $\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)$ ，即乘除法中的非零因子可以先往外提取出去

重要：若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A$ ，且任意一者为0，则另一者的值也为0

2. 洛必达法则

开洛！

当 $x\to a$ 或 $x \to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 同时都趋近于零或都同时趋近于无穷大；并且二者在对应点的去心邻域的导数均存在；同时 $\lim\frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在

那就可以开洛了！

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

提示

一般来说，洛必达法则是用来计算 $\frac{0}{0}$ 或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式的，不是这种型就不能开洛

但是可以想办法把原式化成可以开洛的形状

如果洛完后的式子继续满足使用洛必达的条件，那就可以继续开洛！

顺便 $\frac{?}{\infty}$ 也可以开洛，但是超纲

警告

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}\leftarrow\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}

对于上式来说，右侧存在，则左侧一定存在；但是左侧存在，右侧不一定存在

意思是，有时候可能会出现洛之前还能用，洛之后就不能用的式子，需要注意！！

同时，洛必达只能右边存在用左边，所以不能无脑用洛必达！！！

3. 泰勒公式

本质：设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处n阶可导，则存在 $x=0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一点 $x$ ，有：

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)

例如：

sinx=sin0+(sinx)'|_{x=0}·x+\frac{(sinx)''|_{x=0}}{2!}x^2+\frac{(sinx)'''|_{x=0}}{3!}x^3+o(x^3)

\Rightarrow \sin x=x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)

这里的 $o(x^3)$ 是指高阶无穷小

常见的泰勒多项式看这里

注意：整条公式称为泰勒公式，除了o(x)的部分叫泰勒多项式，o(x)的部分单独叫高阶无穷小

4. 无穷小的运算

设 $m,n$ 为正整数，则：

$o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l), l=min(m,n)$ 无穷小相加减时，低阶"吸收"高阶(高阶消失)
$o(x^m)· o(x^n)=o(x^{m+n}), x^m·o(x^n)=o(x^{m+n})$ 无穷小相乘时，阶数累加
$o(x^m)=o(kx^m)=k·o(x^m)$ 非零常数相乘不影响阶数

5. 泰勒公式应用时的展开原则

$\frac{A}{B}$ 型，适用“上下同阶”原则

就是说如果一边是x的k次幂，则需要用泰勒公式将另一边也展开到x的k次幂

例如：计算 $\lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}$ ，需要在上面对 $\ln(1+x)$ 进行展开，使其达到下面的阶数

$A-B$ 型，适用“幂次最低”原则

就是说，将A和B分别展开到其系数不相等的x的最低次幂为止

然后相减！就有结果了！为什么要系数不相等就是因为要让他们相减之后有东西可以留下！

6. 两个重要极限

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e

常考变量广义化，可以将任意符合趋近点的式子替换为上式的x

7. 夹逼准则

如果函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足下列条件：

$h(x)\leq f(x)\leq g(x)$
$\lim g(x)=A, \lim h(x)=A$

则 $\lim f(x)$ 存在，且 $\lim f(x)=A$

注意： $\lim [g(x)-h(x)]$ 存在不能代表两者分别存在，也不能表示 $\lim f(x)$ 一定存在，具体之前写过

2. 7种未定式的计算

\frac{0}{0},\space \space\frac{\infty}{\infty},\space \space0·\infty,\space \space \infty - \infty,\space \space \infty^0,\space \space0^0,\space \space1^\infty

提醒：无穷小的比阶、直接计算、反求参数、已知某一极限求另一极限等

大致解题思路：

① 化简先行

提出极限不为0的因式
等价无穷小替换
恒等变形

② 判断类型

③ 选择方法(洛必达、泰勒、夹逼)

1. $\frac{0}{0},\space \space\frac{\infty}{\infty},\space \space0·\infty$

直接开洛！ $0·\infty$ 型的也通过将简单式子挪到分母位置然后就是符合条件了！开洛！

或者可以用泰勒展开！

抓大头

如果分子、分母同时出现了多项式，则：

当 $x\to \infty$ 时，分别抓分子、分母中关于x的最高次项(其更能影响极限)

当 $x\to 0$ 时，就是抓最低次项

怎么抓？直接同除x的次幂！

设置分母有原则，简单因式才下放

2. $\infty-\infty$

如果函数中有分母，则直接通分，变形为乘除法，然后开洛或者泰勒

如果没有分母，那就提取公因式，或者做等价代换(例如： $x=\frac{1}{u}$ )，出现分母后，再利用同分等恒等变形方法

3. $\infty^0,\space \space0^0$

通常来说，可以用到一个重要式子：

\lim u^v=e^{v\ln u}

4. $1^\infty$

有一个重要且简单的计算方法：

\lim u^v = e^{lim v\ln u} = e^{lim v(u-1)}

也就是，当 $x\to 1$ 时， $\ln x \backsim (u-1)$

5. 泰勒公式

我觉得要养成看到可以太乐的式子就开乐的习惯。