18.1 三重积分

1. 概念

物理意义：在闭区域$\Omega$内，点$(x,y,z)$的体密度为$\rho(x,y,z)$，且在闭区域内连续，则物体的质量

$$M=\iiint_\Omega\rho(x,y,z)dv$$

2. 性质

1. 体积

$$\iiint_\Omega1dv=V$$

2. 可积函数必有界

3. 积分的线性性质

4. 积分的可加性

5. 积分的保号性

6. 估值定理

7. 中值定理

七条全和一元积分和二重积分一样

3. 普通对称性和轮换对称性

分析方法和二重积分完全一样

核心：偶倍奇零

记住轮换对称性是对调x,y或y,z或x,z

4. 计算

4.1 直角坐标系-投影穿线法

先一后二

适用于投影的方程很简单

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dx$$

4.2 直角坐标系-定限截面法

先二后一

适用场合：1. 旋转体 2. 圆锥面

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_a^bdz\iint_{D_z}f(x,y,z)d\sigma$$

4.3 柱面坐标系

若$\iint_{D_z}d\sigma$适用极坐标系，则令$\begin{cases} x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta \end{cases}$，便有：

$$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\iiint_\Omega f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r drd\theta dz$$

4.4 球面坐标系

适用场合：

1. 被积函数中包含$\begin{cases} f(x^2+y^2+z^2)\\ f(x^2+y^2) \end{cases}$

2. 积分区域为球/锥或其一部分

计算方法：

$$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi\\\\ dv=r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta \end{cases}$$

速记：

1. 拉着一扇门(门绕Z轴不动，门的形状像$\theta$，所以只影响到x,z，分别加一个$\cos\theta$和$\sin\theta$)

2. 喇叭花开花(喇叭花的形状像$\varphi$，同时Z轴也开花了，所以全都要加$\varphi$；因为全都有$\varphi$，所以dv还要多加一个$\sin\varphi$)

3. 直线穿出去(先碰到是$r_1$，后碰到是$r_2$)

提示

计算三重积分的第一步：先考虑对称性

4.5 换元法

三步走：

1. $f(x,y,z)\to f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]$

2. $\iiint_{\Omega_{x,y,z}}\to\iiint_{\Omega_{u,v,w }}$

3. $dxdydz\to\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|dudvdw$

提示

直角坐标系到球面坐标系的换元过程

也不一定要三步走，比如$x^2+4y^2+z^2=1$，可以令$y_1=2y$，一样化为球面坐标系能解决的问题

5. 应用

重心：

$$\bar{x}=\frac{\iiint x\rho(x,y,z)dv}{\iiint\rho(x,y,z)}$$

特别地，若密度函数为常数，则有

$$\iiint_\Omega xdv=\bar{x}·V$$

若右侧容易算出，则可快速计算出左侧

转动惯量：

I_x=\iint_\sum(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dS