18.5 第二型曲面积分

1. 物理背景

向量场，通水

物理背景是向量函数通过曲面的通量

2. 概念

$$\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$$

可以写作：

$$\iint_{\sum} P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$$

3. 性质

1. 线性性质

2. 方向性

出去正，进去负

3. 可加性

3.1 对称性

和曲线积分一样，没有数量上的对称性，只能通过方向、数量代入计算后，根据计算得到的结果来确认是否相等或相反

4. 计算

4.1 基本方法——化为二重积分

1. 拆成三个积分，一个一个做

注意积分次序不能换，不能用对称性

$$\iint_{\sum} P(x,y,z)dydz+\iint_{\sum} Q(x,y,z)dzdx+\iint_{\sum} R (x,y,z)dxdy$$

2. 分别投影到对应的坐标面上

提示

这里如果投影是一条线，那就是0了，要和第一型曲面积分区分开

但是，仍然不能有有限个复数投影点的情况，这种情况要拆成多个曲面片进行投影

3. 一投二代三计算

注意看$\sum$的法向量(由题目指定)

上前右：微分为正

下后左：微分为负

于是得到：

$$\iint_{\sum}R(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy$$

4.2 高斯公式

三个前提：

1. 封闭曲面
2. 具有一阶连续偏导数
3. 外侧

$$\oiint_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$$

三个使用条件：

1. 连续封闭，无奇点，直接用
2. 非连续封闭，无奇点，补面
3. 连续封闭，无奇点，设更小的球面，半径为常数，剔除分母