18.6 空间第二型曲线积分

1. 一投二代三计算

设$\Gamma:\begin{cases} x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{cases}t:\alpha\to\beta$，则有：

$$\begin{aligned} &\int_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz=\\ &\int_\alpha^\beta\{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\}dt \end{aligned}$$

2. 斯托克斯公式

空间区域内有分片光滑有向曲面片，$\Gamma$为该曲面片的边界，它的方向和曲面片的法向量成右手系，三个函数在空间内有连续一阶偏导数，则有斯托克斯公式：

$$\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\sum}\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\\\\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y } & \frac{\partial}{\partial z}\\\\ P & Q & R \end{vmatrix}\\\\=\iint_{\sum}\begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\\\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y } & \frac{\partial}{\partial z}\\\\ P & Q & R \end{vmatrix}dS$$

(上面为第二型曲面积分，下面为第一型曲面积分)

$\vec{n}°=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$为曲面片的单位外法向量

提示

公式的成立和这个曲面片的大小、形状无关，类似于泡泡棒