18.3 第一型曲面积分

1. 概念

物理背景：以f(x,y,z)为面密度的空间物质曲面的质量

警告

ds 弧微分

dS 面微分

注意区分！

$$\begin{cases} dS=\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}dxdy\\\\ ds=\sqrt{1+(y_x')^2} \end{cases}$$

2. 性质

七大性质走一遍

3. 轮换对称性

普通对称性和轮换对称性走一遍

4. 计算

一投二代三计算

1. 一投：将曲面投影到某一平面上

2. 投谁消谁，比如投到xOy面就消z，将$z=z(x,y)$代入到待积分函数内

3. 计算$z_x',z_y'$，则$dS=\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}dxdy$

警告

投影时，穿线不能有重合的投影点，也就是投的必须是单值函数

5. 应用

计算光滑曲面面积走一趟

重心形心走一趟

转动惯量走一趟