18.4 平面第二型曲线积分

TQ大约 3 分钟

1. 物理背景

物理意义：变力沿曲线做功

曲线有方向性

$d\vec{s}$ :弧微分向量

被积函数： $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ 被定义在平面有向曲线L上，其变力在曲线上做的总功为：

\vec{F}(x,y)=\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

数量型积分的七大性质在这里不全起效

\int_{AB}\vec{F}·d\vec{s}=-\int_{BA}\vec{F}·d\vec{s}

第二型曲线积分没有几何角度的对称性

其需要分解为两个方向的单位向量，然后进行一系列确定方向、计算后，在数量大小上看是否相等或相反

一投二代三计算

核心：参数方程 $\begin{cases} x=x(t)\\y=y(t) \end{cases}(t:\alpha\to\beta)$

其中， $t=\alpha$ 是起点， $t=\beta$ 是终点

则有：

\int_LP(x,y)dx=\int_\alpha^\beta P[x(t),y(t)]x'(t)dt

a和b大小不重要，重要的是起点和终点相互对应

若曲线由方程 $y=y(x)$ 给出，则可以看作参数方程 $\begin{cases} x=x\\y=y(x) \end{cases}$ ，则有

\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_a^b\{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y'(x)\}dx

提示

曲线方向：a到b

也可以无视方向，取小的为下限，取大的为上限

若曲线是小到大，则dx取正数；若曲线方向是大到小，则dx取负数

成立条件：

格林公式是曲线积分和二重积分的相互转换(一个是边，一个是面)

如果不是正向曲线，则要在积分前面添负号来换方向

\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma

注意PQ是反过来的，可以参照第二型曲面积分的高斯公式来理解

三个使用条件：

\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy

符合上述定义(无论取哪条线，积分值均相同)的积分就是和路径无关

\begin{cases} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\\\\ \oint_L Pdx+Qdy=0\\\\ \int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy\\\\ du=Pdx+Qdy\\\\ du=0\\\\ \{P,Q\}\text{是u的梯度} \end{cases}

符合上述任意一点，立即推，旋度为0，积分与路径无关

警告

这些仅在单联通区域成立

若区域内有洞或者有奇点，就不成立了

例如：

u(x,y)=\int_{x_0}^xP(x,y_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)dy

折线的路径必须要在D内，得出来的函数再加上C就得到了所有原函数