16.1 常数项级数的概念与性质

1. 概念与其敛散性

1. 概念

给定一个无穷数列，将其各项用加号连起来得到记号$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，即

$$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$$

叫做无穷级数，简称级数，其中$u_n$叫做该级数的通项。

若$u_n$是常数，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$为常数项无穷级数，简称常数项级数

2. 部分和

将级数的各项逐一相加，得到下面这些和：

$$S_1=u_1,S_2=u_1+u_2,S_n=u_1+u_1+\cdots+u_n,\cdots$$

这称为级数的部分和，$\{S_n\}$就是级数的部分和数列

3. 敛散性

若$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，并称$S$为该收敛级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$的和

若$\lim\limits_{n\to\infty}S_n\not\exist$，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$发散

2. 性质

2.1 分配律

若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$均收敛，则任给常数a,b，有$\sum\limits_{n=1}^\infty (au_n\pm bv_n)$也收敛，且

$$\sum\limits_{n=1}^\infty (au_n\pm bv_n)=a\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\pm b\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$$

提示

收敛$\pm$发散=发散，发散$\pm$发散=不一定

2.2 无限性

改变级数的任意有限项，不会改变该级数的敛散性

级数的敛散性取决于$n\to\infty$时的情况

2.3 结合律

收敛级数的项任意加括号后，所得的新级数仍然收敛，且其和不变

2.4 趋0性

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$

此性质是级数收敛的必要条件

2.5 特殊结论

对于任意级数，有如下结论：

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}-u_n)\text{收敛}\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}u_n\exist$$

若$\lim S_n$难以计算，可以考虑单独计算偶数项或奇数项，然后再单独加个$u_n$(例题16.2)