16.5 函数展开成幂级数

1. 概念

目的：和函数转换为幂级数

如果函数$f(x)$在点$x=x_0$处存在任意阶导数，则称

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\cdots$$

为函数$f(x)$在$x_0$处的泰勒级数。若收敛，则$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

特别地，当$x_0=0$时，称为麦克劳林级数

$$f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}x^n+\cdots$$

若收敛，则$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x)^n$

2. 求法

1. 直接法

求出每个$a_n$然后挨个代入，太麻烦了，不用！

2. 间接法

利用已知的幂级数展开式，通过各种变化方法得到函数的展开式

提示

若逐项求导或逐项积分后，要检查端点处是否符合敛散性，检查两点：

1. 端点处级数是否收敛
2. 被展开的函数在端点处是否连续

若成立，则符合展开式的收敛性

提示

可以先单独把$x$的$n$次幂提到整体外面，对整体进行幂级数展开，然后再将$x$的$n$次幂乘进幂级数内

3. 高级和函数结论

$$\begin{aligned} & \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}·\frac{x^n}{n},-1<x\leq 1\\\\ & \frac 12\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}·\frac{x^n}{2n},-1<x\leq 1\\\\ & \arctan x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},-1\leq x\leq 1\\\\ & e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},-\infty<x<+\infty\\\\ & \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty<x<+\infty\\\\ & \cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n·\frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty<x<+\infty\\\\ & \frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty<x<+\infty\\\\ & \sin x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n·\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty<x<+\infty\\\\ \end{aligned}$$