16.3 幂级数及其收敛域

收敛域：定义域

1. 概念

1.1 函数项级数

函数项级数：

设函数列$\{u_n(x)\}$定义在区间I上，称

$$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$$

为定义在区间I上的函数项级数，记为$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$

当x取确定的值$x_0$时，其成为常数项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$

1.2 幂级数

若$\sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x)$的一般项$u_n(x)$是x的n次幂，则称$\sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x)$为幂级数，其一般形式为：

$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0·(x-x_0)^0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots$$

其标准形式为：

$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0x^0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$

其中$a_n$称为幂级数的系数

提示

标准形式可以与泰勒展开项$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$相互对应

1.3 收敛点与发散点

若给定$x_0∈I$，有$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$收敛，则称$x_0$是函数项级数的收敛点；若发散，则称为发散点

1.4 收敛域

函数项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$的所有收敛点的集合称为它的收敛域

2. 阿贝尔定理

当幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$在点$x=x_1(x\not=0)$处收敛时，对满足$|x|<|x_1|$的一切x，幂级数绝对收敛

若在$x=x_2$发散，则对满足$|x|>|x_2|$的一切x，幂级数发散

注意

区间端点的敛散性需要单独判别

提示

对确定的幂级数，一定可以找到对称两点，其中两点间处处绝对收敛，两点外处处发散

3. 收敛半径

若$R\geq 0$满足条件：当$|x|<R$时，幂级数绝对收敛；当$|x|>R$时，幂级数发散

则称R为幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛半径

区间$(-R,R)$称为$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛区间

提示

已知$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$在某点$x_1(x_1\not=x_0)$的敛散性，确定该幂级数的收敛判定可分为以下三种情况：

1. 若在$x_1$处收敛，则收敛半径$R\geq|x_1-x_0|$

2. 若在$x_1$处发散，则收敛半径$R\leq|x_1-x_0|$

3. 若在$x_1$处条件收敛，则$R=|x_1-x_0|$

4. 收敛域的求法

4.1 不缺项幂级数

1. 求收敛半径

若$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$或$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$，

则$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛半径R的表达式为$R=\begin{cases} \frac 1\rho, &\rho\not=0,\rho\not=+\infty\\ +\infty, &\rho=0\\ 0, &\rho=+\infty \end{cases}$

2. 收敛区间与收敛域

区间$(-R,R)$为幂级数的收敛区间，单独考察幂级数在$x=\pm R$处的敛散性就可以确定其收敛域是否取左右区间端点

提示

若收敛半径为$+\infty$，更方便

4.2 缺项幂级数与一般函数项幂级数

1. 加绝对值，使其变为$\sum|u_n(x)|$
2. 用正项级数的比值判别法或根值判别法

令$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|$(或$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}$)$<1$，求出收敛区间$(a,b)$

3. 单独讨论端点处的敛散性，从而确定收敛域

提示

若上述求法均失效，也不能说明该幂级数没有收敛域

如果是形如奇偶不同的幂函数，可以考虑拆为两个子列，分别求出这两个子列的收敛半径，取其最小值即可

提示

一般函数项级数的收敛域用到了幂级数求收敛半径的思想，但是结果不能说是"收敛半径"，因为有可能不对称

收敛半径是幂级数独有的概念

不同幂级数之间的转换

例子：已知$\sum a_n(x-x_1)^m$的敛散性，讨论$\sum b_n(x-x_2)^n$的敛散性

$(x-x_1)^m$与$(x-x_2)^n$之间的转换可以通过平移收敛区间，提出或乘以因式$(x-x_0)^k$等来完成，这几个操作不会改变收敛域

$a_n$与$b_n$之间的转换一般通过微积分变形来完成，包括逐项求导和逐项积分等，求导可能缩小收敛域，积分可能扩大收敛域，二者均不会改变收敛半径

提示

对古怪的幂级数：

1. 拆分
2. 找子列