16.4 幂级数求和函数

1. 概念

在收敛域上，记$S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$，并称$S(x)$为$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$的和函数

求和函数第一步：求收敛域

2. 运算法则

若幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$与$\sum\limits_{n=0}^\infty b_nx^n$的收敛半径分别为$R_a,R_b(R_a\not=R_b)$，则有：

$$k\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty ka_nx^n,|x|<R_a,k\text{为常数}$$

$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n,|x|<R=min\{R_a,R_b\}$$

提示

当$R_a=R_b$时，其加减结果的收敛半径可能扩大

$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n·\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}\right)x^n$$

速记：课本P317

这个式子是标准化，常化成右边推左边

其收敛半径$R\geq min\{R_a,R_b\}$

3. 恒等变形方式

1. 通项下标一起变

$$\sum_{n=k}^\infty a_nx^n=\sum_{n=k+l}^\infty a_{n-l}x^{n-l}$$

其中l为正数，可正可负可为0

2. 只变下标，不变通项

$$\sum_{n=k}^\infty a_nx^n=a_kx^k+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots+a_{k+l-1}x^{k+l-1}+\sum_{n=k+l}^\infty a_nx^n$$

说人话就是把变的下标前面的项单独拉出来加

3. 只变通项，不变下标

$$\sum_{n=k}^\infty a_nx^n=x^l\sum_{n=k}^\infty a_nx^{n-l}$$

说人话就是把每个通项单拉出来要加或者减的l

4. 性质

幂级数的和函数在其收敛域上连续

端点值难求→就求极限值

若和函数在收敛域上可积，可以对其进行逐项积分

若可导，可以进行逐项求导

提示

和的积分=积分的和

和的导数=导数的和

以上条件在收敛时成立

积分和求导都能得到和原级数相同的收敛半径

但积分后收敛域可能扩大

求导后收敛域可能缩小

5. 重要展开式

$$\begin{aligned} & e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},-\infty< x<+\infty\\\\ & \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,-1<x<1\\\\ & \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,-1<x<1\\\\ & \ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^n}{n},-1<x\leq1\\\\ & \sin x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty<x<+\infty\\\\ & \cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{2n!},-\infty<x<+\infty\text{(实际上是sinx的求导)}\\\\ &(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots\text{(x∈(-1,1)时一定收敛)}\\\\ &\text{反向展开：}\\\\ &\sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},-1<x<1\\\\ &\sum_{n=1}^\infty \frac 1n x^n=-\ln(1-x) \end{aligned}$$

6. 重要结论

1. 突破口

先导后积公式：

$$S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^xs'(t)dt$$

先积后导公式：

$$S(x)=(\int S(x)dx)'$$

若$(an+b)^c$在分母上，先导后积；若在分子上，先积后导

在解题过程中千万别忘记求收敛域

2. 重要和函数

$$\begin{aligned} &\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\\\\ &\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\\\ &\frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}\\\\ &\frac{6}{(1-x)^4}=\sum_{n=3}^\infty n(n-1)(n-2)x^{n-3} \end{aligned}$$

若出现形如$nx^{n-1}$的式子，可以考虑使用上述结论