16.6 傅里叶级数

1. 周期为2l的傅里叶级数

设函数$f(x)$是周期为2l的周期函数，且在$[-l,l]$上可积，则称

$$a_n=\frac 1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi}{l}xdx$$

$$b_n=\frac 1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi}{l}xdx$$

为$f(x)$的以2l为周期的傅里叶系数

称级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)$$

其中$a_0=\frac 1l\int_{-l}^lf(x)dx$

为$f(x)$的以2l为周期的傅里叶级数，记作

$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)$$

2. 狄利克雷收敛定理

条件：连续或只有有限个第一类间断点、至多只有有限个极值点

条件不重要，很宽泛！

目的：在不知道展开式的情况下，求收敛点的和函数

满足上述条件的$f(x)$的傅里叶级数在区间内处处收敛，则

$$S(x)=\begin{cases} f(x),&\text{x为连续点}\\\\ \frac{f_+(x)+f_-(x)}{2},&\text{x为间断点}\\\\ \frac{f_+(-l)+f_-(l)}{2},&\text{x为区间端点} \end{cases}$$

3. 正弦级数与余弦级数

1. 正弦级数

当$f(x)$为奇函数时，其展开式为正弦级数

$$f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{l}$$

$$b_n=\frac 2l\int_0^l\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

2. 余弦级数

当$f(x)$为偶函数时，其展开式是余弦级数

$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{l}$$

$$a_0=\frac 2l\int_0^lf(x)dx$$

$$a_n=\frac 2l\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx$$

4. 只在[0,l]上有定义的级数展开

奇偶延拓→周期延拓

再套回第三点的正弦级数和余弦级数即可