16.2 级数敛散性的判别方法

警告

无穷级数的所有前提：$n\to\infty$

对任何级数，通项不趋于0，一定发散

提示

无穷级数的计算如果确认收敛了，可以用无穷小计算的方法，包括但不限于等价无穷小替换、泰勒展开等等方法

1. 正项级数极其敛散性判别

若通项均不小于0，则称为正项级数

1.1 收敛原则

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列$\{S_n\}$有界(有上界就够了)

由于部分和数列单调不减(原数列一直在加)，故其极限只有正无穷以及存在两种结果

1.2 比较判别法

给定两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$，若从某项起有$u_n\leq v_n$成立，则

若$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也收敛

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$发散，则$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$也发散

说人话就是大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散

1.2.1 调和级数

对于$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1n$，其从第二项起，每项都是其左右两个相邻项的调和平均数

调和平均数即满足下列式子：

$$\frac 1c=\frac 12(\frac 1a+\frac 1b)$$

这样的级数称为调和级数

1.2.2 p级数

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$称为p级数

可以与p积分联系起来，大于1收敛，小于等于1发散

1.2.3 如何利用比较判别法

可以利用放缩，将指定级数放缩到可以使用简单方法的级数形式

例如欲证明$u_n$收敛，可以令$v_n\geq u_n\geq 0$

这里的$v_n$可以是p级数、等比级数或是其他方便计算的级数

1.2.4 特殊结论

若正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n^2$也收敛

1.3 比较判别法的极限形式

给出两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$和$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$，且$\lim\frac{u_n}{v_n}=A$

1. 若$A=0$，则当$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$收敛时，$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也收敛

2. 若$A=+∞$，则当$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$发散时，$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也发散

3. 若$0<A<+\infty$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$和$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$具有相同的敛散性

提示

极限形式的比较判别法的核心思想是等价无穷小替换

1.4 比值判别法(达朗贝尔判别法)

给出一正项级数，若$\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，那么

1. 若$\rho<1$，则级数收敛

2. 若$\rho>1$，则级数发散

3. 若$\rho=1$，则方法失效，不能用极限形式

若$\rho=1$时，若$\frac{u_{n+1}}{u_n}=k<1$，则可以用压缩映射原理

提示

比值判别法适合用于带有n阶乘或n次方的级数

1.5 根值判别法(柯西判别法)

给出一正项级数，若$\lim\sqrt[n]{u_n}=\rho$，那么

1. 若$\rho<1$，则级数收敛

2. 若$\rho>1$，则级数发散

3. 若$\rho=1$，则方法失效

1.6 积分判别法

对于一正项级数，若在$[1,+\infty)$上存在单调减少的非负连续函数，使得$u_n=f(n)$，则该级数与函数的反常积分敛散性相同

与P级数联系

有如下结论：

$$\int_2^\infty\frac{1}{x\ln^qx}\begin{cases} q>1, &\text{收敛}\\ q\leq 1,&\text{发散} \end{cases}$$

$$\int_2^\infty\frac{1}{x^p\ln^q x}\begin{cases} p>1, &\text{收敛}\\ p=1, q>1,&\text{收敛}\\ \text{其他情况}, &\text{发散} \end{cases}$$

2. 交错级数及其敛散性判别

若级数各项正负相间出现，则称这样的级数为交错级数

莱布尼兹判别法：

给出一交错级数$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$，若$\{u_n\}$单调不增，且$\lim u_n=0$，则该级数收敛

注意第一个条件是充分条件，第二个条件是充要条件

$u_n\to f(n)\to f(x)\to f'(x)$

提示

若$u_n$无单调性或级数难以判断敛散性，则可以考虑拆项

提示

若$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nu_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty (u_{2n-1}-u_{2n})$与原级数等价，就是原级数任意项加括号的结果

3. 任意项级数及其敛散性判别

若级数的任意项可正可负可零，则称这样的级数是任意项级数

应该可以理解为正项级数和交错级数的一般化

研究任意项级数敛散性的方法：

1. 给任一项级数的每一项加绝对值，使其变为正项级数$|u_n|$，它叫做原级数的绝对值级数

绝对值级数可以应用正项级数的六种判别法

绝对值级数和原级数之间的关系：

若$\sum\limits_{n=1}^\infty|u_n|$收敛，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$绝对收敛

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，但$\sum\limits_{n=1}^\infty|u_n|$发散，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$条件收敛

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$绝对收敛，则级数必收敛

提示

条件收敛更像是正负牵制所导致的收敛，其奇数项和偶数项单拿出来必发散。

因此条件收敛平方或者加绝对值后，会发散

提示

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$均绝对收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty(u_n\pm v_n)$绝对收敛

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$均条件收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty(u_n\pm v_n)$收敛，但无法判断是条件收敛还是绝对收敛

若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$一个绝对收敛，另一个条件收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty(u_n\pm v_n)$条件收敛

若$\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$发散，且是用比值判别法和根值判别法判定发散，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$发散，否则不能断定$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也发散

警告

一旦提到收敛，要思考是条件收敛还是绝对收敛，因为条件收敛具有正负性

4. 总结

第一步：设函数，看单调性

第二步：根据极值点，判断是否为正项级数

第三步：常与其他级数进行比较判敛法(如$1/n,1/n^n$)